ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \((x + y)(xy + 16) > 16xy\), где \(x > 0\), \(y > 0\).

Доказать неравенство при \(x \ge 0\), \(y \ge 0\):
\((x+y)(xy+16) \ge 16xy\);

1) Первое неравенство:
\(\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}\);
\(x+y \ge 2\sqrt{xy}\);

2) Второе неравенство:
\(\frac{xy+16}{2} \ge \sqrt{16xy}\);
\(xy+16 \ge 2 \cdot 4\sqrt{xy}\);
\(xy+16 \ge 8\sqrt{xy}\);

3) Перемножим неравенства:
\((x+y)(xy+16) \ge 2\sqrt{xy} \cdot 8\sqrt{xy}\);
\((x+y)(xy+16) \ge 16xy\);

Неравенство доказано.

Доказать неравенство при \(x \ge 0\), \(y \ge 0\):
\((x+y)(xy+16) \ge 16xy\);

1) Мы начинаем с применения неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим (AM-GM). Для любых двух неотрицательных чисел \(a\) и \(b\), среднее арифметическое больше или равно среднему геометрическому, то есть \(\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\). В данном случае, мы применяем его к членам \(x\) и \(y\). Поскольку \(x \ge 0\) и \(y \ge 0\), мы имеем:
\(\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}\)
Умножая обе стороны этого неравенства на 2, мы получаем:
\(x+y \ge 2\sqrt{xy}\)
Это наше первое ключевое неравенство.

2) Далее, мы применяем неравенство AM-GM к другой паре неотрицательных членов. Рассмотрим члены \(xy\) и \(16\). Поскольку \(x \ge 0\) и \(y \ge 0\), отсюда следует, что \(xy \ge 0\), а \(16\) очевидно неотрицательно. Следовательно, мы можем применить неравенство AM-GM:
\(\frac{xy+16}{2} \ge \sqrt{xy \cdot 16}\)
Упрощая правую часть, мы получаем:
\(\frac{xy+16}{2} \ge \sqrt{16xy}\)
\(\frac{xy+16}{2} \ge 4\sqrt{xy}\)
Теперь, умножая обе стороны этого неравенства на 2, мы получаем:
\(xy+16 \ge 8\sqrt{xy}\)
Это наше второе ключевое неравенство.

3) Теперь у нас есть два неравенства:
1. \(x+y \ge 2\sqrt{xy}\)
2. \(xy+16 \ge 8\sqrt{xy}\)
Поскольку все члены в обоих неравенствах неотрицательны (так как \(x \ge 0\) и \(y \ge 0\), \(xy \ge 0\), и \(16 \ge 0\)), мы можем перемножить эти два неравенства. При умножении неравенств, если обе стороны обоих неравенств неотрицательны, произведение левых частей больше или равно произведению правых частей.
Умножая левые части: \((x+y)(xy+16)\)
Умножая правые части: \((2\sqrt{xy})(8\sqrt{xy})\)
Таким образом, мы получаем:
\((x+y)(xy+16) \ge (2\sqrt{xy})(8\sqrt{xy})\)
Упрощая правую часть:
\((2\sqrt{xy})(8\sqrt{xy}) = 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{xy} \cdot \sqrt{xy} = 16 \cdot (\sqrt{xy})^2 = 16xy\)
Следовательно, неравенство принимает вид:
\((x+y)(xy+16) \ge 16xy\)
Это завершает доказательство неравенства.