Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.30 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\), то \(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} > 6\).
Доказать, что если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\), тогда:
\(\frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c} \ge 6;\)
1) Если \(x > 0\), \(y > 0\), тогда:
\(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2\sqrt{\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x}};\)
\(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2;\)
2) В исходном неравенстве:
\(\left(\frac{b}{a} + \frac{a}{b}\right) + \left(\frac{c}{a} + \frac{a}{c}\right) + \left(\frac{c}{b} + \frac{b}{c}\right) \ge 2 + 2 + 2;\)
\(\left(\frac{b}{a} + \frac{a}{b}\right) + \left(\frac{c}{a} + \frac{a}{c}\right) + \left(\frac{c}{b} + \frac{b}{c}\right) \ge 6;\)
\(\frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c} \ge 6\)
Неравенство доказано.
Доказать, что если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\), тогда:
\(\frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c} \ge 6;\)
1) Если \(x > 0\), \(y > 0\), тогда по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим для двух положительных чисел \(\frac{x}{y}\) и \(\frac{y}{x}\) имеем:
\(\frac{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}{2} \ge \sqrt{\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x}};\)
\(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2\sqrt{1};\)
\(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2;\)
2) Рассмотрим исходное неравенство. Левую часть неравенства можно разложить на сумму дробей:
\(\frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c} = \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{c}\)
Перегруппируем слагаемые, чтобы применить результат из пункта 1:
\(\left(\frac{b}{a} + \frac{a}{b}\right) + \left(\frac{c}{a} + \frac{a}{c}\right) + \left(\frac{c}{b} + \frac{b}{c}\right)\)
Применяя неравенство \(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2\) для каждой пары слагаемых:
\(\left(\frac{b}{a} + \frac{a}{b}\right) \ge 2\)
\(\left(\frac{c}{a} + \frac{a}{c}\right) \ge 2\)
\(\left(\frac{c}{b} + \frac{b}{c}\right) \ge 2\)
Сложив эти три неравенства, получаем:
\(\left(\frac{b}{a} + \frac{a}{b}\right) + \left(\frac{c}{a} + \frac{a}{c}\right) + \left(\frac{c}{b} + \frac{b}{c}\right) \ge 2 + 2 + 2;\)
\(\left(\frac{b}{a} + \frac{a}{b}\right) + \left(\frac{c}{a} + \frac{a}{c}\right) + \left(\frac{c}{b} + \frac{b}{c}\right) \ge 6;\)
Таким образом, мы доказали, что:
\(\frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c} \ge 6\)
Неравенство доказано.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.