ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\), \(d > 0\), то \(\frac{4}{a} + \frac{5}{b} + \frac{5}{c} + \frac{4}{d} > 4\).

Доказать, что если \(a > 0, b > 0, c > 0, d > 0\), тогда:
\(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a} \ge 4\);

1) Если \(x > 0, y > 0, z > 0\), тогда:
\(\frac{x}{y} + \frac{y}{z} \ge 2\sqrt{\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{z}}\);
\(\frac{x}{y} + \frac{y}{z} \ge 2\sqrt{\frac{x}{z}}\);

2) Вспомогательное неравенство:
\(\sqrt{\frac{a}{c}} + \sqrt{\frac{c}{a}} \ge 2\sqrt{\sqrt{\frac{a}{c}} \cdot \sqrt{\frac{c}{a}}}\);
\(\sqrt{\frac{a}{c}} + \sqrt{\frac{c}{a}} \ge 2\);

3) В исходном неравенстве:
\((\frac{a}{b} + \frac{b}{c}) + (\frac{c}{d} + \frac{d}{a}) \ge 2\sqrt{\frac{a}{c}} + 2\sqrt{\frac{c}{a}}\);
\(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a} \ge 2(\sqrt{\frac{a}{c}} + \sqrt{\frac{c}{a}})\);
\(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a} \ge 4\);

Неравенство доказано.

Доказать, что если \(a > 0, b > 0, c > 0, d > 0\), тогда:
\(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a} \ge 4\);

1) Если \(x > 0, y > 0, z > 0\), тогда по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим для двух положительных чисел \((A+B)/2 \ge \sqrt{AB}\), что эквивалентно \(A+B \ge 2\sqrt{AB}\), мы имеем:
\(\frac{x}{y} + \frac{y}{z} \ge 2\sqrt{\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{z}}\);
Упрощая выражение под корнем, получаем:
\(\frac{x}{y} + \frac{y}{z} \ge 2\sqrt{\frac{x}{z}}\);

2) Вспомогательное неравенство. Применим то же неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим к выражениям \(\sqrt{\frac{a}{c}}\) и \(\sqrt{\frac{c}{a}}\), которые являются положительными, так как \(a > 0\) и \(c > 0\):
\(\sqrt{\frac{a}{c}} + \sqrt{\frac{c}{a}} \ge 2\sqrt{\sqrt{\frac{a}{c}} \cdot \sqrt{\frac{c}{a}}}\);
Произведение под внутренним корнем равно \(\sqrt{\frac{a}{c} \cdot \frac{c}{a}} = \sqrt{1} = 1\). Таким образом, неравенство упрощается до:
\(\sqrt{\frac{a}{c}} + \sqrt{\frac{c}{a}} \ge 2\);

3) В исходном неравенстве. Перегруппируем члены исходного неравенства и применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим к каждой паре членов. Поскольку \(a, b, c, d\) положительны, то и все дроби \(\frac{a}{b}, \frac{b}{c}, \frac{c}{d}, \frac{d}{a}\) также положительны.
Группируем члены следующим образом:
\((\frac{a}{b} + \frac{b}{c}) + (\frac{c}{d} + \frac{d}{a})\);
Применяем неравенство \(A+B \ge 2\sqrt{AB}\) к первой паре \(\frac{a}{b}\) и \(\frac{b}{c}\):
\(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} \ge 2\sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c}} = 2\sqrt{\frac{a}{c}}\);
Применяем то же неравенство ко второй паре \(\frac{c}{d}\) и \(\frac{d}{a}\):
\(\frac{c}{d} + \frac{d}{a} \ge 2\sqrt{\frac{c}{d} \cdot \frac{d}{a}} = 2\sqrt{\frac{c}{a}}\);
Складывая эти два неравенства, получаем:
\((\frac{a}{b} + \frac{b}{c}) + (\frac{c}{d} + \frac{d}{a}) \ge 2\sqrt{\frac{a}{c}} + 2\sqrt{\frac{c}{a}}\);
Вынося общий множитель 2 за скобки:
\(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a} \ge 2(\sqrt{\frac{a}{c}} + \sqrt{\frac{c}{a}})\);
Из вспомогательного неравенства, доказанного в пункте 2, мы знаем, что \(\sqrt{\frac{a}{c}} + \sqrt{\frac{c}{a}} \ge 2\). Подставляя это в наше текущее неравенство:
\(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a} \ge 2 \cdot 2\);
\(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a} \ge 4\);

Неравенство доказано.