ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Для положительных чисел \(a\) и \(b\) докажите неравенство \(\frac{a^2 + 1}{b^2 + 1} \geq \frac{4}{a}\).

Для положительных чисел \(a\) и \(b\) доказать неравенство:
\( \frac{a^2+1}{b} + \frac{b^2+1}{a} \ge 4; \)

1) Если \(x > 0\), \(y > 0\), тогда:
\( \frac{x^2}{y} + \frac{1}{y} \ge 2 \sqrt{\frac{x^2}{y} \cdot \frac{1}{y}}; \)
\( \frac{x^2+1}{y} \ge \frac{2x}{y}; \)

2) Вспомогательное неравенство:
\( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}}; \)
\( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2; \)

3) В исходном неравенстве:
\( \frac{a^2+1}{b} + \frac{b^2+1}{a} \ge \frac{2a}{b} + \frac{2b}{a}; \)
\( \frac{a^2+1}{b} + \frac{b^2+1}{a} \ge 2 \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right); \)
\( \frac{a^2+1}{b} + \frac{b^2+1}{a} \ge 4; \)

Неравенство доказано.

Для положительных чисел \(a\) и \(b\) доказать неравенство: \( \frac{a^2+1}{b} + \frac{b^2+1}{a} \ge 4 \)

1) Рассмотрим вспомогательное неравенство, основанное на неравенстве между средним арифметическим и средним геометрическим (AM-GM). Для любых положительных чисел \(A\) и \(B\), выполняется \( A+B \ge 2\sqrt{AB} \). Пусть \(x > 0\) и \(y > 0\). Применим это неравенство к членам \( \frac{x^2}{y} \) и \( \frac{1}{y} \).
Тогда имеем:
\( \frac{x^2}{y} + \frac{1}{y} \ge 2 \sqrt{\frac{x^2}{y} \cdot \frac{1}{y}} \)
Объединяя дроби в левой части и упрощая выражение под корнем в правой части, получаем:
\( \frac{x^2+1}{y} \ge 2 \sqrt{\frac{x^2}{y^2}} \)
Поскольку \(x > 0\) и \(y > 0\), \( \sqrt{x^2} = x \) и \( \sqrt{y^2} = y \). Таким образом, неравенство принимает вид:
\( \frac{x^2+1}{y} \ge 2 \frac{x}{y} \)
Или, более компактно:
\( \frac{x^2+1}{y} \ge \frac{2x}{y} \)
Это вспомогательное неравенство будет использовано в дальнейшем.

2) Рассмотрим еще одно вспомогательное неравенство, также основанное на AM-GM. Для положительных чисел \(a\) и \(b\), применим неравенство AM-GM к членам \( \frac{a}{b} \) и \( \frac{b}{a} \).
Тогда:
\( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} \)
Упрощая выражение под корнем, получаем:
\( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 \sqrt{1} \)
Что приводит к:
\( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 \)
Это неравенство показывает, что сумма взаимно обратных положительных чисел не меньше двух.

3) Теперь применим полученные вспомогательные неравенства к исходному выражению.
Используя результат из пункта 1, подставим \(x=a\) и \(y=b\). Получим:
\( \frac{a^2+1}{b} \ge \frac{2a}{b} \)
Аналогично, подставим \(x=b\) и \(y=a\). Получим:
\( \frac{b^2+1}{a} \ge \frac{2b}{a} \)
Сложим эти два неравенства:
\( \frac{a^2+1}{b} + \frac{b^2+1}{a} \ge \frac{2a}{b} + \frac{2b}{a} \)
Вынесем общий множитель 2 из правой части неравенства:
\( \frac{a^2+1}{b} + \frac{b^2+1}{a} \ge 2 \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) \)
Из пункта 2 мы знаем, что \( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 \). Подставим это в последнее неравенство:
\( \frac{a^2+1}{b} + \frac{b^2+1}{a} \ge 2 (2) \)
Таким образом, получаем окончательное неравенство:
\( \frac{a^2+1}{b} + \frac{b^2+1}{a} \ge 4 \)

Неравенство доказано.