ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Для положительных чисел \(a\) и \(b\) докажите неравенство \((a + 1)^2 (b + 1) > 8 \cdot 9a\).

Для положительных чисел \(a\) и \(b\) доказать неравенство:
\(\frac{(a + 1)^2}{b} + \frac{(b + 1)^2}{a} \ge 8\);

1) Если \(x > 0, y > 0\), тогда:
\(\frac{x^2}{y} + \frac{1}{y} \ge 2\sqrt{\frac{x^2}{y} \cdot \frac{1}{y}}\);
\(\frac{x^2 + 2x + 1}{y} \ge \frac{2x}{y} + \frac{2x}{y}\);
\(\frac{(x + 1)^2}{y} \ge \frac{4x}{y}\);

2) Вспомогательное неравенство:
\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}}\);
\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\);

3) В исходном неравенстве:
\(\frac{(a + 1)^2}{b} + \frac{(b + 1)^2}{a} \ge \frac{4a}{b} + \frac{4b}{a}\);
\(\frac{(a + 1)^2}{b} + \frac{(b + 1)^2}{a} \ge 4\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right)\);
\(\frac{(a + 1)^2}{b} + \frac{(b + 1)^2}{a} \ge 8\);
Неравенство доказано.

Для положительных чисел \(a\) и \(b\) доказать неравенство:
\(\frac{(a + 1)^2}{b} + \frac{(b + 1)^2}{a} \ge 8\);

1) Если \(x > 0, y > 0\), тогда рассмотрим неравенство, основанное на том, что квадрат любого действительного числа неотрицателен: \((x — 1)^2 \ge 0\). Раскрывая скобки, получаем \(x^2 — 2x + 1 \ge 0\). Прибавляя \(4x\) к обеим частям неравенства, получаем \(x^2 + 2x + 1 \ge 4x\). Левая часть является полным квадратом \((x + 1)^2\), таким образом, \((x + 1)^2 \ge 4x\). Поскольку \(y > 0\), мы можем разделить обе части неравенства на \(y\), сохраняя знак неравенства: \(\frac{(x + 1)^2}{y} \ge \frac{4x}{y}\). Это неравенство будет использовано в дальнейшем.

2) Вспомогательное неравенство основано на неравенстве между средним арифметическим и средним геометрическим (AM-GM) для двух положительных чисел. Для любых положительных чисел \(A\) и \(B\) выполняется \(A + B \ge 2\sqrt{AB}\). Применяя это к числам \(\frac{a}{b}\) и \(\frac{b}{a}\), которые являются положительными, поскольку \(a > 0\) и \(b > 0\), получаем: \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}}\). Упрощая выражение под корнем, \(\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1\), поэтому \(\sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = \sqrt{1} = 1\). Следовательно, \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\).

3) В исходном неравенстве \(\frac{(a + 1)^2}{b} + \frac{(b + 1)^2}{a} \ge 8\) мы используем результаты из предыдущих пунктов. Применяя неравенство из пункта 1, \(\frac{(x + 1)^2}{y} \ge \frac{4x}{y}\), к первому члену, где \(x = a\) и \(y = b\), получаем \(\frac{(a + 1)^2}{b} \ge \frac{4a}{b}\). Аналогично, применяя его ко второму члену, где \(x = b\) и \(y = a\), получаем \(\frac{(b + 1)^2}{a} \ge \frac{4b}{a}\). Складывая эти два неравенства, получаем: \(\frac{(a + 1)^2}{b} + \frac{(b + 1)^2}{a} \ge \frac{4a}{b} + \frac{4b}{a}\). Вынося общий множитель \(4\) из правой части, имеем: \(\frac{(a + 1)^2}{b} + \frac{(b + 1)^2}{a} \ge 4\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right)\). Из пункта 2 мы знаем, что \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\). Подставляя это значение в неравенство, получаем: \(\frac{(a + 1)^2}{b} + \frac{(b + 1)^2}{a} \ge 4(2)\). Таким образом, \(\frac{(a + 1)^2}{b} + \frac{(b + 1)^2}{a} \ge 8\).

Неравенство доказано.