ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \(a \in [0; 1]\), \(b \in [0; 1]\), \(a + b > 0\). Докажите неравенство \((1 — a)(1 — b) \leq 1\).

Известно, что: \(a \in [0; 1]\), \(b \in [0; 1]\), \(a + b \ge \frac{1}{2}\);
Доказать неравенство: \(\sqrt{(1-a)(1-b)} \le \frac{3}{4}\);

Согласно неравенству Коши:
\(\frac{(1-a)+(1-b)}{2} \ge \sqrt{(1-a)(1-b)}\);
\(\sqrt{(1-a)(1-b)} \le \frac{2-(a+b)}{2} \le \frac{1}{2}(2-\frac{1}{2})\);
\(\sqrt{(1-a)(1-b)} \le \frac{3}{4}\);
Неравенство доказано.

Известно, что: \(a \in [0; 1]\), \(b \in [0; 1]\), а также \(a + b \ge \frac{1}{2}\). Требуется доказать неравенство: \(\sqrt{(1-a)(1-b)} \le \frac{3}{4}\).

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом (AM-GM неравенством). Неравенство Коши гласит, что для любых неотрицательных чисел \(x\) и \(y\) выполняется соотношение \(\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}\).

В данном случае, в качестве \(x\) и \(y\) мы возьмем выражения \((1-a)\) и \((1-b)\). Поскольку \(a \in [0; 1]\) и \(b \in [0; 1]\), то \((1-a)\) и \((1-b)\) являются неотрицательными числами, так как \(1-a \ge 0\) и \(1-b \ge 0\). Таким образом, мы можем применить неравенство Коши:
\(\frac{(1-a)+(1-b)}{2} \ge \sqrt{(1-a)(1-b)}\).

Преобразуем левую часть этого неравенства:
\(\frac{1-a+1-b}{2} = \frac{2-(a+b)}{2}\).

Теперь подставим это выражение обратно в неравенство:
\(\sqrt{(1-a)(1-b)} \le \frac{2-(a+b)}{2}\).

Далее, используем данное в условии неравенство \(a+b \ge \frac{1}{2}\). Из этого следует, что \(-(a+b) \le -\frac{1}{2}\).

Подставим это в правую часть неравенства:
\(\frac{2-(a+b)}{2} \le \frac{2-\frac{1}{2}}{2}\).

Вычислим значение правой части:
\(\frac{2-\frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{4}{2}-\frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}\).

Таким образом, мы получаем цепочку неравенств:
\(\sqrt{(1-a)(1-b)} \le \frac{2-(a+b)}{2} \le \frac{3}{4}\).

Из этой цепочки следует, что \(\sqrt{(1-a)(1-b)} \le \frac{3}{4}\).

Неравенство доказано.