ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.35 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \([a]\) и \([b]\) \(\in [0; 1]\). Докажите неравенство \(ab + \sqrt{(1 — a^2)(1 — b^2)} \leq 1\).

Известно, что: \(|a| \le 1\), \(|b| \le 1\);
Доказать неравенство: \(ab + \sqrt{(1-a^2)(1-b^2)} \le 1\);
Согласно неравенству Коши:
\(\frac{(1-a^2)+(1-b^2)}{2} \ge \sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}\);
\(ab + \sqrt{(1-a^2)(1-b^2)} \le \frac{2-a^2+2ab-b^2}{2}\);
\(ab + \sqrt{(1-a^2)(1-b^2)} \le \frac{2-(a-b)^2}{2} \le \frac{2-0^2}{2}\);
\(ab + \sqrt{(1-a^2)(1-b^2)} \le 1\);
Неравенство доказано.

Известно, что: \(|a| \le 1\), \(|b| \le 1\);
Доказать неравенство: \(ab + \sqrt{(1-a^2)(1-b^2)} \le 1\);

Согласно неравенству Коши:
Для любых неотрицательных чисел \(x\) и \(y\) выполняется неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом: \(\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}\).
В данном случае, поскольку \(|a| \le 1\) и \(|b| \le 1\), это означает, что \(a^2 \le 1\) и \(b^2 \le 1\). Следовательно, выражения \(1-a^2\) и \(1-b^2\) являются неотрицательными.
Применим неравенство Коши к числам \(x = 1-a^2\) и \(y = 1-b^2\):
\(\frac{(1-a^2)+(1-b^2)}{2} \ge \sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}\).
Это можно переписать как:
\(\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)} \le \frac{(1-a^2)+(1-b^2)}{2}\).

Теперь подставим это верхнее ограничение для корня в исходное неравенство, которое мы хотим доказать:
Мы хотим показать, что \(ab + \sqrt{(1-a^2)(1-b^2)} \le 1\).
Используя полученное из неравенства Коши ограничение, мы можем написать:
\(ab + \sqrt{(1-a^2)(1-b^2)} \le ab + \frac{(1-a^2)+(1-b^2)}{2}\).
Упростим правую часть выражения:
\(ab + \frac{1-a^2+1-b^2}{2} = ab + \frac{2-a^2-b^2}{2}\).
Приведем к общему знаменателю:
\(\frac{2ab + 2-a^2-b^2}{2}\).
Перегруппируем члены в числителе:
\(\frac{2 — (a^2 — 2ab + b^2)}{2}\).
Заметим, что выражение в скобках является полным квадратом: \(a^2 — 2ab + b^2 = (a-b)^2\).
Таким образом, неравенство принимает вид:
\(ab + \sqrt{(1-a^2)(1-b^2)} \le \frac{2-(a-b)^2}{2}\).

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, \((a-b)^2 \ge 0\).
Из этого следует, что \( -(a-b)^2 \le 0\).
Тогда \(2 — (a-b)^2 \le 2 — 0\), то есть \(2 — (a-b)^2 \le 2\).
Следовательно,
\(\frac{2-(a-b)^2}{2} \le \frac{2}{2}\).
\(\frac{2-(a-b)^2}{2} \le 1\).

Соединяя все шаги, получаем:
\(ab + \sqrt{(1-a^2)(1-b^2)} \le \frac{2-(a-b)^2}{2} \le 1\).
Отсюда следует, что:
\(ab + \sqrt{(1-a^2)(1-b^2)} \le 1\).

Неравенство доказано.