ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.36 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \(a + b = 1\). Докажите, что \(a^2 + b^2 > \frac{3}{4}\).

Известно, что: \(a + b = 1\);
Доказать неравенство: \(a^2 + b^2 \ge \frac{1}{2}\);

По неравенству Коши-Буняковского:
\((1 \cdot a + 1 \cdot b)^2 \le (1 + 1)(a^2 + b^2)\);
\((a + b)^2 \le 2(a^2 + b^2)\);
\(2(a^2 + b^2) \ge 1\);
\(a^2 + b^2 \ge \frac{1}{2}\);
Неравенство доказано.

Известно, что: \(a + b = 1\);
Доказать неравенство: \(a^2 + b^2 \ge \frac{1}{2}\);

По неравенству Коши-Буняковского, также известному как неравенство Коши-Шварца, для двух наборов действительных чисел \((x_1, x_2, \ldots, x_n)\) и \((y_1, y_2, \ldots, y_n)\) выполняется следующее соотношение: \((\sum_{i=1}^n x_i y_i)^2 \le (\sum_{i=1}^n x_i^2)(\sum_{i=1}^n y_i^2)\). В данном случае, мы можем рассмотреть два набора чисел для \(n=2\): первый набор чисел \((x_1, x_2)\) будет \((1, 1)\), а второй набор чисел \((y_1, y_2)\) будет \((a, b)\).

Применяя неравенство Коши-Буняковского к этим наборам, получаем:
\((1 \cdot a + 1 \cdot b)^2 \le (1^2 + 1^2)(a^2 + b^2)\).

Упрощая обе части неравенства, получаем:
\((a + b)^2 \le (1 + 1)(a^2 + b^2)\),
что приводит к:
\((a + b)^2 \le 2(a^2 + b^2)\).

Из условия задачи нам известно, что \(a + b = 1\). Подставляем это значение в левую часть неравенства:
\((1)^2 \le 2(a^2 + b^2)\).

Это упрощается до:
\(1 \le 2(a^2 + b^2)\).

Теперь, чтобы выразить \(a^2 + b^2\), разделим обе части неравенства на \(2\). Поскольку \(2\) является положительным числом, знак неравенства не изменится:
\(2(a^2 + b^2) \ge 1\).

Следовательно:
\(a^2 + b^2 \ge \frac{1}{2}\).

Таким образом, неравенство доказано.