ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.37 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \(a + b = 2\). Докажите, что \(a^4 + b^4 > 2\).

Известно, что: \(a + b = 2\);
Доказать неравенство: \(a^4 + b^4 \ge 2\);

1) Вспомогательное неравенство:
\( (1 \cdot a + 1 \cdot b)^2 \le (1+1)(a^2 + b^2); \)
\( (a + b)^2 \le 2(a^2 + b^2); \)
\( 2(a^2 + b^2) \ge 4; \)
\( a^2 + b^2 \ge 2; \)

2) Основное неравенство:
\( (1 \cdot a^2 + 1 \cdot b^2)^2 \le (1+1)(a^4 + b^4); \)
\( 2(a^4 + b^4) \ge (a^2 + b^2)^2 \ge 4; \)
\( a^4 + b^4 \ge 2; \)

Неравенство доказано.

Известно, что: \(a + b = 2\);
Доказать неравенство: \(a^4 + b^4 \ge 2\);

1) Вспомогательное неравенство:
Для доказательства вспомогательного неравенства \(a^2 + b^2 \ge 2\) воспользуемся неравенством Коши-Буняковского. Для действительных чисел \(x_1, x_2, y_1, y_2\) оно имеет вид: \((x_1 y_1 + x_2 y_2)^2 \le (x_1^2 + x_2^2)(y_1^2 + y_2^2)\).
Применим это неравенство для \(x_1 = 1\), \(x_2 = 1\), \(y_1 = a\), \(y_2 = b\).
Тогда получаем:
\( (1 \cdot a + 1 \cdot b)^2 \le (1^2 + 1^2)(a^2 + b^2); \)
Упрощая выражения, получаем:
\( (a + b)^2 \le (1+1)(a^2 + b^2); \)
\( (a + b)^2 \le 2(a^2 + b^2); \)
По условию задачи, нам известно, что \(a + b = 2\). Подставим это значение в неравенство:
\( (2)^2 \le 2(a^2 + b^2); \)
\( 4 \le 2(a^2 + b^2); \)
Разделим обе части неравенства на 2:
\( \frac{4}{2} \le \frac{2(a^2 + b^2)}{2}; \)
\( 2 \le a^2 + b^2; \)
Таким образом, мы доказали вспомогательное неравенство:
\( a^2 + b^2 \ge 2; \)

2) Основное неравенство:
Теперь, используя результат вспомогательного неравенства, докажем основное неравенство \(a^4 + b^4 \ge 2\). Снова воспользуемся неравенством Коши-Буняковского.
Применим его для \(x_1 = 1\), \(x_2 = 1\), \(y_1 = a^2\), \(y_2 = b^2\).
Тогда получаем:
\( (1 \cdot a^2 + 1 \cdot b^2)^2 \le (1^2 + 1^2)((a^2)^2 + (b^2)^2); \)
Упрощая выражения, получаем:
\( (a^2 + b^2)^2 \le (1+1)(a^4 + b^4); \)
\( (a^2 + b^2)^2 \le 2(a^4 + b^4); \)
Из вспомогательного неравенства (пункт 1) мы знаем, что \(a^2 + b^2 \ge 2\). Возведем обе части этого неравенства в квадрат:
\( (a^2 + b^2)^2 \ge (2)^2; \)
\( (a^2 + b^2)^2 \ge 4; \)
Теперь объединим полученные неравенства:
Мы имеем \(2(a^4 + b^4) \ge (a^2 + b^2)^2\) и \((a^2 + b^2)^2 \ge 4\).
Из этого следует, что:
\( 2(a^4 + b^4) \ge 4; \)
Разделим обе части неравенства на 2:
\( \frac{2(a^4 + b^4)}{2} \ge \frac{4}{2}; \)
\( a^4 + b^4 \ge 2; \)

Неравенство доказано.