ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.38 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(a^4 + b^4 = 2\), то \(|a + b| \leq 2\).

Известно, что: \(a^4 + b^4 = 2\);
Доказать неравенство: \(|a + b| \le 2\);

1) Вспомогательное неравенство:
\((1 \cdot a^2 + 1 \cdot b^2)^2 \le (1 + 1)(a^4 + b^4)\);
\((a^2 + b^2)^2 \le 2 \cdot 2\);
\(a^2 + b^2 \le 2\);

2) Основное неравенство:
\((1 \cdot a + 1 \cdot b)^2 \le (1 + 1)(a^2 + b^2)\);
\((a + b)^2 \le 2(a^2 + b^2) \le 4\);
\(\sqrt{(a + b)^2} \le \sqrt{4}\);
\(|a + b| \le 2\);

Неравенство доказано.

Известно, что: \(a^4 + b^4 = 2\).
Доказать неравенство: \(|a + b| \le 2\).

1) Вспомогательное неравенство:

Для доказательства вспомогательного неравенства мы используем неравенство Коши-Буняковского (также известное как неравенство Коши-Шварца). Общая форма неравенства Коши-Буняковского для двух векторов \((x_1, x_2)\) и \((y_1, y_2)\) выглядит так: \((x_1 y_1 + x_2 y_2)^2 \le (x_1^2 + x_2^2)(y_1^2 + y_2^2)\).

Применим это неравенство, полагая \(x_1 = 1\), \(y_1 = a^2\), \(x_2 = 1\), \(y_2 = b^2\). Подставляя эти значения в формулу, получаем:
\((1 \cdot a^2 + 1 \cdot b^2)^2 \le (1^2 + 1^2)((a^2)^2 + (b^2)^2)\)
\((a^2 + b^2)^2 \le (1 + 1)(a^4 + b^4)\)

Известно, что \(a^4 + b^4 = 2\). Подставим это значение в неравенство:
\((a^2 + b^2)^2 \le 2 \cdot 2\)
\((a^2 + b^2)^2 \le 4\)

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей неравенства. Поскольку \(a^2 + b^2\) всегда неотрицательно, мы можем взять арифметический квадратный корень:
\(\sqrt{(a^2 + b^2)^2} \le \sqrt{4}\)
\(a^2 + b^2 \le 2\)

Таким образом, вспомогательное неравенство \(a^2 + b^2 \le 2\) доказано.

2) Основное неравенство:

Для доказательства основного неравенства мы снова используем неравенство Коши-Буняковского. На этот раз мы применим его к векторам \((1, 1)\) и \((a, b)\).
Полагаем \(x_1 = 1\), \(y_1 = a\), \(x_2 = 1\), \(y_2 = b\). Подставляя эти значения в формулу \((x_1 y_1 + x_2 y_2)^2 \le (x_1^2 + x_2^2)(y_1^2 + y_2^2)\), получаем:
\((1 \cdot a + 1 \cdot b)^2 \le (1^2 + 1^2)(a^2 + b^2)\)
\((a + b)^2 \le (1 + 1)(a^2 + b^2)\)
\((a + b)^2 \le 2(a^2 + b^2)\)

Из вспомогательного неравенства, доказанного в пункте 1, мы знаем, что \(a^2 + b^2 \le 2\). Подставим это в текущее неравенство:
\((a + b)^2 \le 2(2)\)
\((a + b)^2 \le 4\)

Наконец, извлечем квадратный корень из обеих частей неравенства. Важно помнить, что \(\sqrt{x^2} = |x|\).
\(\sqrt{(a + b)^2} \le \sqrt{4}\)
\(|a + b| \le 2\)

Неравенство доказано.