ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.39 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\) и \(a + b + c = 1\). Докажите неравенство \(\frac{ab}{a + b} + \frac{bc}{b + c} + \frac{ca}{c + a} \geq \frac{1}{2}\).

Известно, что: \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\) и \(a + b + c = 1\);
Доказать неравенство: \(\frac{ab}{a+b} + \frac{bc}{b+c} + \frac{ca}{c+a} \le \frac{1}{2}\);

1) Вспомогательное неравенство:
\(\frac{x+y}{2} \ge \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}\);
\(\frac{x+y}{2} \ge \frac{2xy}{y+x}\);
\(\frac{xy}{x+y} \le \frac{x+y}{4}\);

2) Из исходного неравенства:
\(\frac{ab}{a+b} + \frac{bc}{b+c} + \frac{ca}{c+a} \le \frac{a+b}{4} + \frac{b+c}{4} + \frac{c+a}{4}\);
\(\frac{ab}{a+b} + \frac{bc}{b+c} + \frac{ca}{c+a} \le \frac{a+b+c}{2}\);
\(\frac{ab}{a+b} + \frac{bc}{b+c} + \frac{ca}{c+a} \le \frac{1}{2}\);

Неравенство доказано.

Известно, что: \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\) и \(a + b + c = 1\);
Доказать неравенство: \(\frac{ab}{a+b} + \frac{bc}{b+c} + \frac{ca}{c+a} \le \frac{1}{2}\).

1) Вспомогательное неравенство:
Для любых положительных чисел \(x\) и \(y\) справедливо неравенство между средним арифметическим и средним гармоническим:
\(\frac{x+y}{2} \ge \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}\).

Упростим правую часть неравенства:
\(\frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = \frac{2}{\frac{y+x}{xy}} = \frac{2xy}{x+y}\).
Таким образом, получаем:
\(\frac{x+y}{2} \ge \frac{2xy}{x+y}\).

Умножим обе части этого неравенства на \(\frac{x+y}{2}\) (поскольку \(x+y > 0\), знак неравенства не меняется):
\(\left(\frac{x+y}{2}\right)^2 \ge xy\).
Раскроем квадрат в левой части:
\(\frac{(x+y)^2}{4} \ge xy\).
Разделим обе части неравенства на \((x+y)\) (поскольку \(x+y > 0\), знак неравенства не меняется):
\(\frac{x+y}{4} \ge \frac{xy}{x+y}\).
Перепишем это неравенство в виде:
\(\frac{xy}{x+y} \le \frac{x+y}{4}\).

2) Из исходного неравенства:
Применим доказанное вспомогательное неравенство \(\frac{xy}{x+y} \le \frac{x+y}{4}\) к каждому члену исходного неравенства.
Для первого члена, положив \(x=a\) и \(y=b\):
\(\frac{ab}{a+b} \le \frac{a+b}{4}\).

Для второго члена, положив \(x=b\) и \(y=c\):
\(\frac{bc}{b+c} \le \frac{b+c}{4}\).

Для третьего члена, положив \(x=c\) и \(y=a\):
\(\frac{ca}{c+a} \le \frac{c+a}{4}\).

Сложим эти три неравенства:
\(\frac{ab}{a+b} + \frac{bc}{b+c} + \frac{ca}{c+a} \le \frac{a+b}{4} + \frac{b+c}{4} + \frac{c+a}{4}\).

Объединим члены в правой части:
\(\frac{a+b}{4} + \frac{b+c}{4} + \frac{c+a}{4} = \frac{(a+b) + (b+c) + (c+a)}{4} = \frac{a+b+b+c+c+a}{4} = \frac{2a+2b+2c}{4}\).
Вынесем общий множитель \(2\) в числителе:
\(\frac{2(a+b+c)}{4} = \frac{a+b+c}{2}\).

Таким образом, исходное неравенство принимает вид:
\(\frac{ab}{a+b} + \frac{bc}{b+c} + \frac{ca}{c+a} \le \frac{a+b+c}{2}\).

По условию задачи, известно, что \(a+b+c = 1\). Подставим это значение в неравенство:
\(\frac{ab}{a+b} + \frac{bc}{b+c} + \frac{ca}{c+a} \le \frac{1}{2}\).

Неравенство доказано.