ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(a > 0\) и \(b > 0\), то \((a + b)\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right) > 4\).

Доказать, что если \(a > 0\) и \(b > 0\), тогда:
\((a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \ge 4;\)

1) Первое неравенство:
\(\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab};\)
\(a + b \ge 2\sqrt{ab};\)

2) Второе неравенство:
\(\frac{1}{2} \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \ge \sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}};\)
\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge 2\sqrt{\frac{1}{ab}};\)

3) Перемножим неравенства:
\((a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \ge 2\sqrt{ab} \cdot 2\sqrt{\frac{1}{ab}};\)
\((a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \ge 4;\)

Неравенство доказано.

Доказать, что если \(a > 0\) и \(b > 0\), тогда:
\((a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \ge 4;\)

1) Первое неравенство:
Для доказательства первого неравенства мы используем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (AM-GM). Для любых двух положительных чисел \(x\) и \(y\), неравенство AM-GM утверждает, что \(\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}\). Применяя это неравенство к положительным числам \(a\) и \(b\), получаем:
\(\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab};\)
Умножая обе части этого неравенства на 2, мы получаем:
\(a+b \ge 2\sqrt{ab};\)

2) Второе неравенство:
Аналогично первому пункту, мы снова используем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим. В этот раз мы применяем его к положительным числам \(\frac{1}{a}\) и \(\frac{1}{b}\). Согласно неравенству AM-GM, для \(\frac{1}{a}\) и \(\frac{1}{b}\) справедливо следующее:
\(\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2} \ge \sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}};\)
Упрощаем правую часть неравенства, так как \(\sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}} = \sqrt{\frac{1}{ab}}\):
\(\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2} \ge \sqrt{\frac{1}{ab}};\)
Умножаем обе части этого неравенства на 2, чтобы получить:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \ge 2\sqrt{\frac{1}{ab}};\)

3) Перемножим неравенства:
Теперь у нас есть два доказанных неравенства для положительных чисел \(a\) и \(b\):
Первое неравенство: \(a+b \ge 2\sqrt{ab}\)
Второе неравенство: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \ge 2\sqrt{\frac{1}{ab}}\)
Поскольку все части этих неравенств положительны (\(a, b > 0\), следовательно, \(\sqrt{ab} > 0\) и \(\sqrt{\frac{1}{ab}} > 0\)), мы можем перемножить их. Перемножая левые части и правые части обоих неравенств, получаем:
\((a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \ge \left(2\sqrt{ab}\right) \cdot \left(2\sqrt{\frac{1}{ab}}\right);\)
Упрощаем правую часть выражения:
\((a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \ge 4 \cdot \sqrt{ab \cdot \frac{1}{ab}};\)
\((a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \ge 4 \cdot \sqrt{1};\)
\((a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \ge 4;\)

Неравенство доказано.