ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.40 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что \(|a \sqrt{1 — b^2} + b \sqrt{1 — a^2}| \leq 1\).

Доказать неравенство: \(|a\sqrt{1-b^2} + b\sqrt{1-a^2}| \le 1;\)
По неравенству Коши-Буняковского:
\((a \cdot \sqrt{1-b^2} + \sqrt{1-a^2} \cdot b)^2 \le (a^2 + (1-a^2))((1-b^2) + b^2);\)
\((a\sqrt{1-b^2} + b\sqrt{1-a^2})^2 \le 1 \cdot 1;\)
\(|a\sqrt{1-b^2} + b\sqrt{1-a^2}| \le 1;\)
Неравенство доказано.

Доказать неравенство: \(|a\sqrt{1-b^2} + b\sqrt{1-a^2}| \le 1;\)

1. По неравенству Коши-Буняковского:
Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством Коши-Буняковского (также известным как неравенство Коши-Шварца-Буняковского). Для действительных чисел оно формулируется следующим образом: для любых двух наборов действительных чисел \((x_1, x_2, \dots, x_n)\) и \((y_1, y_2, \dots, y_n)\) выполняется неравенство:
\((\sum_{i=1}^{n} x_i y_i)^2 \le (\sum_{i=1}^{n} x_i^2)(\sum_{i=1}^{n} y_i^2)\).

В нашем случае, мы можем применить это неравенство для двухмерных векторов. Рассмотрим два вектора:
\(\vec{u} = (a, \sqrt{1-a^2})\)
\(\vec{v} = (\sqrt{1-b^2}, b)\)

Вычислим скалярное произведение этих векторов:
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = a \cdot \sqrt{1-b^2} + \sqrt{1-a^2} \cdot b\).

Теперь вычислим квадраты длин каждого из этих векторов:
Для первого вектора \(\vec{u}\):
\(|\vec{u}|^2 = u_1^2 + u_2^2 = a^2 + (\sqrt{1-a^2})^2 = a^2 + (1-a^2) = 1\).
Для второго вектора \(\vec{v}\):
\(|\vec{v}|^2 = v_1^2 + v_2^2 = (\sqrt{1-b^2})^2 + b^2 = (1-b^2) + b^2 = 1\).

Теперь подставим эти значения в неравенство Коши-Буняковского:
\((a\sqrt{1-b^2} + b\sqrt{1-a^2})^2 \le (a^2 + (1-a^2))((1-b^2) + b^2);\)
Упрощая правую часть неравенства, получаем:
\((a\sqrt{1-b^2} + b\sqrt{1-a^2})^2 \le 1 \cdot 1;\)
\((a\sqrt{1-b^2} + b\sqrt{1-a^2})^2 \le 1;\)

Извлекая квадратный корень из обеих частей последнего неравенства, и учитывая, что \(\sqrt{x^2} = |x|\) для любого действительного числа \(x\), получаем:
\(|a\sqrt{1-b^2} + b\sqrt{1-a^2}| \le \sqrt{1};\)
\(|a\sqrt{1-b^2} + b\sqrt{1-a^2}| \le 1;\)

2. Неравенство доказано.