ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.41 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(x + y + z = 1\), то \(x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{1}{3}\).

Известно, что: \(x + y + z = 1\);
Доказать неравенство: \(x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{1}{3}\);

По неравенству Коши-Буняковского:
\((1 \cdot x + 1 \cdot y + 1 \cdot z)^2 \leq (1 + 1 + 1)(x^2 + y^2 + z^2)\);
\((x + y + z)^2 \leq 3(x^2 + y^2 + z^2)\);
\(3(x^2 + y^2 + z^2) \geq 1\);
\(x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{1}{3}\);

Неравенство доказано.

Известно, что: \(x + y + z = 1\);

Доказать неравенство: \(x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{1}{3}\);

По неравенству Коши-Буняковского, для действительных чисел \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) и \(b_1, b_2, \ldots, b_n\) выполняется следующее соотношение:
\((a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_n b_n)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \ldots + b_n^2)\).

Применим это неравенство к нашим переменным. Пусть \(a_1 = 1\), \(a_2 = 1\), \(a_3 = 1\) и \(b_1 = x\), \(b_2 = y\), \(b_3 = z\). Подставляя эти значения в неравенство Коши-Буняковского, получаем:
\((1 \cdot x + 1 \cdot y + 1 \cdot z)^2 \leq (1^2 + 1^2 + 1^2)(x^2 + y^2 + z^2)\).

Упростим обе части неравенства:
Левая часть: \((x + y + z)^2\).
Правая часть: \((1 + 1 + 1)(x^2 + y^2 + z^2) = 3(x^2 + y^2 + z^2)\).

Таким образом, неравенство принимает вид:
\((x + y + z)^2 \leq 3(x^2 + y^2 + z^2)\).

Известно, что \(x + y + z = 1\). Подставим это значение в полученное неравенство:
\((1)^2 \leq 3(x^2 + y^2 + z^2)\).

Это упрощается до:
\(1 \leq 3(x^2 + y^2 + z^2)\).

Теперь разделим обе части неравенства на \(3\). Поскольку \(3\) является положительным числом, знак неравенства не изменится:
\(\frac{1}{3} \leq x^2 + y^2 + z^2\).

Перепишем это в более привычном виде:
\(x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{1}{3}\).

Неравенство доказано.