ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.42 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \(a_1 + a_2 + \dots + a_n = n\). Докажите, что \(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2 > n\).

Известно, что: \(a_1 + a_2 + \dots + a_n = n\);
Доказать неравенство: \(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2 \ge n\);
По неравенству Коши-Буняковского:
\((1 \cdot a_1 + 1 \cdot a_2 + \dots + 1 \cdot a_n)^2 \le (1 + 1 + \dots + 1)(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)\);
\((a_1 + a_2 + \dots + a_n)^2 \le n(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)\);
\(n^2 \le n(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)\);
\(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2 \ge n\);
Неравенство доказано.

Известно, что: \(a_1 + a_2 + \dots + a_n = n\).
Доказать неравенство: \(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2 \ge n\).

По неравенству Коши-Буняковского:
Неравенство Коши-Буняковского (также известное как неравенство Коши-Шварца) для двух последовательностей действительных чисел \((x_1, x_2, \dots, x_n)\) и \((y_1, y_2, \dots, y_n)\) гласит:
\((\sum_{i=1}^n x_i y_i)^2 \le (\sum_{i=1}^n x_i^2)(\sum_{i=1}^n y_i^2)\).
В нашем случае, мы можем выбрать \(x_i = 1\) для всех \(i = 1, 2, \dots, n\) и \(y_i = a_i\) для всех \(i = 1, 2, \dots, n\).
Подставляя эти значения в неравенство Коши-Буняковского, получаем:
\((1 \cdot a_1 + 1 \cdot a_2 + \dots + 1 \cdot a_n)^2 \le (1^2 + 1^2 + \dots + 1^2)(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)\).
Это можно переписать как:
\((1 \cdot a_1 + 1 \cdot a_2 + \dots + 1 \cdot a_n)^2 \le (1 + 1 + \dots + 1)(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)\).

Упростим обе части неравенства:
Левая часть: \((1 \cdot a_1 + 1 \cdot a_2 + \dots + 1 \cdot a_n)^2\) упрощается до \((a_1 + a_2 + \dots + a_n)^2\).
Правая часть: сумма \((1 + 1 + \dots + 1)\) состоит из \(n\) единиц, поэтому она равна \(n\).
Таким образом, неравенство принимает вид:
\((a_1 + a_2 + \dots + a_n)^2 \le n(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)\).

Используем данное условие:
Нам дано, что \(a_1 + a_2 + \dots + a_n = n\).
Подставим это значение в левую часть полученного неравенства:
\((n)^2 \le n(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)\).
Что равносильно:
\(n^2 \le n(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)\).

Разделим обе части неравенства на \(n\):
Поскольку \(n\) является количеством членов, оно должно быть положительным целым числом (\(n \ge 1\)). Следовательно, деление на \(n\) не меняет знак неравенства.
Разделив обе части на \(n\), получаем:
\(\frac{n^2}{n} \le \frac{n(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)}{n}\).
Что упрощается до:
\(n \le a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2\).
Или, переписав в более привычном виде:
\(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2 \ge n\).

Неравенство доказано.