ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.43 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(a^2 + b^2 + c^2 = 1\), то \(|a + b + c| < \sqrt{3}\).

Известно, что: \(a^2 + b^2 + c^2 = 1\);
Доказать неравенство: \(|a + b + c| \le \sqrt{3}\);

По неравенству Коши-Буняковского:
\((1 \cdot a + 1 \cdot b + 1 \cdot c)^2 \le (1 + 1 + 1)(a^2 + b^2 + c^2)\);
\((a + b + c)^2 \le 3 \cdot 1\);
\(\sqrt{(a + b + c)^2} \le \sqrt{3}\);
\(|a + b + c| \le \sqrt{3}\);

Неравенство доказано.

Известно, что: \(a^2 + b^2 + c^2 = 1\);
Доказать неравенство: \(|a + b + c| \le \sqrt{3}\);

1. Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством Коши-Буняковского (также известным как неравенство Коши-Шварца-Буняковского). В общем виде для двух последовательностей действительных чисел \((x_1, x_2, \dots, x_n)\) и \((y_1, y_2, \dots, y_n)\) оно формулируется как:
\( (x_1 y_1 + x_2 y_2 + \dots + x_n y_n)^2 \le (x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2)(y_1^2 + y_2^2 + \dots + y_n^2) \).

2. Применим это неравенство к последовательностям \((1, 1, 1)\) и \((a, b, c)\). В данном случае \(x_1=1, x_2=1, x_3=1\) и \(y_1=a, y_2=b, y_3=c\). Подставляя эти значения в формулу неравенства Коши-Буняковского, получаем:
\((1 \cdot a + 1 \cdot b + 1 \cdot c)^2 \le (1^2 + 1^2 + 1^2)(a^2 + b^2 + c^2)\).

3. Упростим обе части полученного неравенства. Левая часть становится \((a + b + c)^2\). Правая часть упрощается до \((1 + 1 + 1)(a^2 + b^2 + c^2)\), что равно \(3(a^2 + b^2 + c^2)\). Таким образом, неравенство принимает вид:
\((a + b + c)^2 \le 3(a^2 + b^2 + c^2)\).

4. Согласно условию задачи, нам известно, что \(a^2 + b^2 + c^2 = 1\). Подставим это значение в правую часть неравенства:
\((a + b + c)^2 \le 3 \cdot 1\).

5. Дальнейшее упрощение правой части дает:
\((a + b + c)^2 \le 3\).

6. Чтобы избавиться от квадрата в левой части и получить выражение для \(a+b+c\), возьмем квадратный корень из обеих частей неравенства. Важно помнить, что \(\sqrt{x^2} = |x|\) для любого действительного числа \(x\). Применяя это правило, получаем:
\(\sqrt{(a + b + c)^2} \le \sqrt{3}\).

7. Применяя свойство квадратного корня, указанное выше, левая часть неравенства преобразуется в модуль выражения \((a+b+c)\). Таким образом, окончательно получаем:
\(|a + b + c| \le \sqrt{3}\).

Неравенство доказано.