ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.44 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения \(3x + 4y\), если \(x^2 + y^2 = 1\).

Найти наибольшее и наименьшее значения:
\(3x + 4y\), если \(x^2 + y^2 = 1\);

По неравенству Коши-Буняковского:
\((3x + 4y)^2 \le (3^2 + 4^2)(x^2 + y^2)\);
\((3x + 4y)^2 \le (9 + 16) \cdot 1\);
\((3x + 4y)^2 \le 25\);
\(|3x + 4y| \le 5\);
\(-5 \le 3x + 4y \le 5\);

Ответ: \(-5\); \(5\).

Найти наибольшее и наименьшее значения:
\(3x + 4y\), если \(x^2 + y^2 = 1\);

1. Для решения данной задачи мы воспользуемся неравенством Коши-Буняковского. Это неравенство устанавливает связь между суммой произведений элементов двух последовательностей и произведением сумм квадратов элементов этих последовательностей. В общем виде для двух последовательностей действительных чисел \((a_1, a_2, \dots, a_n)\) и \((b_1, b_2, \dots, b_n)\) оно формулируется следующим образом:
\( (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_n^2) \).

2. Применим неравенство Коши-Буняковского к нашим выражениям. Мы хотим найти наибольшее и наименьшее значения для \(3x + 4y\). В данном случае мы можем рассмотреть две последовательности: \((3, 4)\) и \((x, y)\). Подставляя эти значения в формулу неравенства Коши-Буняковского, получаем:
\( (3 \cdot x + 4 \cdot y)^2 \le (3^2 + 4^2)(x^2 + y^2) \).

3. Согласно условию задачи, нам дано, что \(x^2 + y^2 = 1\). Подставим это значение в правую часть полученного неравенства. Также вычислим квадраты чисел в первой скобке правой части: \(3^2 = 9\) и \(4^2 = 16\).
Таким образом, неравенство преобразуется к виду:
\( (3x + 4y)^2 \le (9 + 16)(1) \).

4. Выполним сложение чисел в скобках в правой части неравенства: \(9 + 16 = 25\).
После этого неравенство принимает следующий вид:
\( (3x + 4y)^2 \le 25 \).

5. Для того чтобы избавиться от квадрата в левой части неравенства, возьмем квадратный корень из обеих частей. Важно помнить, что для любого действительного числа \(A\), \(\sqrt{A^2} = |A|\). Применяя это свойство, получаем:
\( \sqrt{(3x + 4y)^2} \le \sqrt{25} \).
Что упрощается до:
\( |3x + 4y| \le 5 \).

6. Неравенство с абсолютным значением \(|A| \le B\) эквивалентно двойному неравенству \(-B \le A \le B\). Применяя это правило к нашему неравенству, получаем:
\( -5 \le 3x + 4y \le 5 \).

7. Из полученного двойного неравенства видно, что наименьшее значение выражения \(3x + 4y\) равно \(-5\), а наибольшее значение равно \(5\). Эти значения достижимы. Например, значение \(5\) достигается при \(x = \frac{3}{5}\) и \(y = \frac{4}{5}\), так как \((\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1\), и \(3(\frac{3}{5}) + 4(\frac{4}{5}) = \frac{9}{5} + \frac{16}{5} = \frac{25}{5} = 5\). Аналогично, значение \(-5\) достигается при \(x = -\frac{3}{5}\) и \(y = -\frac{4}{5}\).

Ответ: \(-5\); \(5\).