ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.45 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите наименьшее значение выражения \(a^2 + b^2\), если \(5a — 12b = 13\).

Известно, что: \(5a — 12b = 13\);
Найти наименьшее значение \(a^2 + b^2\);

По неравенству Коши-Буняковского:
\((5a — 12b)^2 \leq (5^2 + (-12)^2)(a^2 + b^2)\);
\(13^2 \leq (25 + 144)(a^2 + b^2)\);
\(169 \leq 169(a^2 + b^2)\);
\(a^2 + b^2 \geq 1\);

Ответ: 1.

Известно, что: \(5a — 12b = 13\);
Найти наименьшее значение \(a^2 + b^2\);

1. Для решения данной задачи воспользуемся неравенством Коши-Буняковского. Это неравенство гласит, что для любых действительных чисел \(x_1, x_2, \dots, x_n\) и \(y_1, y_2, \dots, y_n\) выполняется следующее соотношение:
\( (x_1y_1 + x_2y_2 + \dots + x_ny_n)^2 \leq (x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2)(y_1^2 + y_2^2 + \dots + y_n^2) \).

2. В нашем случае, мы можем сопоставить \(x_1 = 5\), \(x_2 = -12\), \(y_1 = a\), \(y_2 = b\). Подставим эти значения в неравенство Коши-Буняковского:
\((5a + (-12)b)^2 \leq (5^2 + (-12)^2)(a^2 + b^2)\).
Это упрощается до:
\((5a — 12b)^2 \leq (5^2 + (-12)^2)(a^2 + b^2)\).

3. Нам дано, что \(5a — 12b = 13\). Подставим это значение в левую часть неравенства. Также вычислим квадраты чисел в правой части:
\(13^2 \leq (25 + 144)(a^2 + b^2)\).

4. Выполним арифметические операции:
\(169 \leq (169)(a^2 + b^2)\).

5. Разделим обе части неравенства на 169. Поскольку 169 является положительным числом, знак неравенства не изменится:
\(\frac{169}{169} \leq \frac{169(a^2 + b^2)}{169}\).
Что приводит к:
\(1 \leq a^2 + b^2\).
Или, что то же самое:
\(a^2 + b^2 \geq 1\).

6. Из полученного неравенства \(a^2 + b^2 \geq 1\) следует, что наименьшее возможное значение выражения \(a^2 + b^2\) равно 1. Это значение достигается, когда равенство в неравенстве Коши-Буняковского выполняется.

Ответ: 1.