ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.46 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \((a + 1)^2 + (b + 1)^2 + (c + 2)^2 > (a + b + c)^2\).

Доказать неравенство:
\((a^4 + b^4 + c^4) \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}\right) \ge (a+b+c)^2;\)

По неравенству Коши-Буняковского:
\(\left(a^2 \cdot \frac{1}{a} + b^2 \cdot \frac{1}{b} + c^2 \cdot \frac{1}{c}\right)^2 \le (a^4 + b^4 + c^4) \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}\right);\)
\((a + b + c)^2 \le (a^4 + b^4 + c^4) \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}\right);\)

Неравенство доказано.

Доказать неравенство:
\((a^4 + b^4 + c^4) \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}\right) \ge (a+b+c)^2;\)

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством Коши-Буняковского. Неравенство Коши-Буняковского для двух последовательностей действительных чисел \((x_1, x_2, \dots, x_n)\) и \((y_1, y_2, \dots, y_n)\) имеет вид:
\((\sum_{i=1}^{n} x_i y_i)^2 \le (\sum_{i=1}^{n} x_i^2) (\sum_{i=1}^{n} y_i^2)\).

В нашем случае, мы можем выбрать \(n=3\) и определить последовательности \(x_i\) и \(y_i\) следующим образом:
Пусть \(x_1 = a^2\), \(x_2 = b^2\), \(x_3 = c^2\).
Пусть \(y_1 = \frac{1}{a}\), \(y_2 = \frac{1}{b}\), \(y_3 = \frac{1}{c}\).

Теперь вычислим необходимые суммы для подстановки в неравенство Коши-Буняковского.
Сумма произведений \(x_i y_i\) будет:
\(\sum_{i=1}^{3} x_i y_i = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3 = a^2 \cdot \frac{1}{a} + b^2 \cdot \frac{1}{b} + c^2 \cdot \frac{1}{c} = a + b + c\).
Тогда квадрат этой суммы равен:
\((\sum_{i=1}^{3} x_i y_i)^2 = (a + b + c)^2\).

Сумма квадратов \(x_i\) будет:
\(\sum_{i=1}^{3} x_i^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (a^2)^2 + (b^2)^2 + (c^2)^2 = a^4 + b^4 + c^4\).

Сумма квадратов \(y_i\) будет:
\(\sum_{i=1}^{3} y_i^2 = y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 = \left(\frac{1}{a}\right)^2 + \left(\frac{1}{b}\right)^2 + \left(\frac{1}{c}\right)^2 = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}\).

Теперь подставим полученные выражения в неравенство Коши-Буняковского:
\((a+b+c)^2 \le (a^4 + b^4 + c^4) \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}\right)\).

Это то же самое неравенство, что и требуемое для доказательства, просто записанное в обратном порядке:
\((a^4 + b^4 + c^4) \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}\right) \ge (a+b+c)^2\).

Таким образом, неравенство доказано.