ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.47 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(a > 0\), \(b > 0\) и \(c > 0\), то \((a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) > 9\)

Доказать, что если \(a > 0, b > 0, c > 0\), тогда:
\((a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \ge 9;\)

По неравенству Коши-Буняковского:
\(\left(\sqrt{a} \cdot \frac{1}{\sqrt{a}} + \sqrt{b} \cdot \frac{1}{\sqrt{b}} + \sqrt{c} \cdot \frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2 \le (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right);\)

\((1+1+1)^2 \le (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right);\)

\(9 \le (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right);\)

Неравенство доказано.

Доказать, что если \(a > 0, b > 0, c > 0\), тогда:
\((a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \ge 9;\)

Для доказательства данного неравенства, которое утверждает, что произведение суммы трех положительных чисел на сумму их обратных величин всегда больше или равно девяти, мы воспользуемся мощным инструментом математического анализа — неравенством Коши-Буняковского, также известным как неравенство Коши-Шварца. Это неравенство гласит, что для любых действительных чисел \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) и \(y_1, y_2, \ldots, y_n\) выполняется следующее соотношение: \((\sum_{i=1}^{n} x_i y_i)^2 \le (\sum_{i=1}^{n} x_i^2)(\sum_{i=1}^{n} y_i^2)\). В нашем случае, мы имеем дело с тремя положительными числами, поэтому \(n=3\).

Применим неравенство Коши-Буняковского, выбрав соответствующие последовательности. Пусть первая последовательность будет состоять из квадратных корней из наших чисел: \(x_1 = \sqrt{a}\), \(x_2 = \sqrt{b}\), \(x_3 = \sqrt{c}\). Вторая последовательность будет состоять из обратных квадратных корней: \(y_1 = \frac{1}{\sqrt{a}}\), \(y_2 = \frac{1}{\sqrt{b}}\), \(y_3 = \frac{1}{\sqrt{c}}\). Подставим эти значения в формулу неравенства Коши-Буняковского. Левая часть неравенства примет вид \(\left(\sqrt{a} \cdot \frac{1}{\sqrt{a}} + \sqrt{b} \cdot \frac{1}{\sqrt{b}} + \sqrt{c} \cdot \frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2\). Каждый член суммы в скобках упрощается до единицы, поскольку \(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} = 1\) для любого положительного \(x\). Таким образом, левая часть становится \((1+1+1)^2\). Правая часть неравенства Коши-Буняковского будет выглядеть как произведение двух сумм квадратов: \(((\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2 + (\sqrt{c})^2)\left(\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2\right)\). Это упрощается до \((a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\).

Итак, после применения неравенства Коши-Буняковского и упрощения выражений, мы получаем следующее неравенство: \((1+1+1)^2 \le (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\). Дальнейшее упрощение левой части приводит к \((3)^2\), что равно \(9\). Таким образом, мы приходим к окончательному виду неравенства: \(9 \le (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\). Это тождественно исходному неравенству, которое требовалось доказать. Следовательно, утверждение о том, что для любых положительных чисел \(a, b, c\) выполняется \((a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \ge 9\), полностью доказано с использованием неравенства Коши-Буняковского.