ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.48 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Для положительных чисел \(a_1, a_2, \dots, a_n\), докажите, что \((a_1 + a_2 + \dots + a_n)\left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}\right) \geq n^2\).

Для положительных чисел \(a_1, a_2, \ldots, a_n\), доказать:
\( (a_1 + a_2 + \ldots + a_n) \left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_n}\right) \geq n^2 \);

По неравенству Коши-Буняковского:
\( \left(\sqrt{a_1} \cdot \frac{1}{\sqrt{a_1}} + \sqrt{a_2} \cdot \frac{1}{\sqrt{a_2}} + \ldots + \sqrt{a_n} \cdot \frac{1}{\sqrt{a_n}}\right)^2 \leq (a_1 +\)
\(+ \ldots + a_n) \left(\frac{1}{a_1} + \ldots + \frac{1}{a_n}\right) \);
\( (1 + 1 + \ldots + 1)^2 \leq (a_1 + a_2 + \ldots + a_n) \left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_n}\right) \);
\( n^2 \leq (a_1 + a_2 + \ldots + a_n) \left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_n}\right) \);
Неравенство доказано.

Для положительных чисел \(a_1, a_2, \ldots, a_n\), доказать: \( \left(a_1 + a_2 + \ldots + a_n\right) \left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_n}\right) \geq n^2 \).

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством Коши-Буняковского (также известным как неравенство Коши-Шварца). Неравенство Коши-Буняковского для двух последовательностей действительных чисел \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) и \(y_1, y_2, \ldots, y_n\) гласит: \( \left(\sum_{i=1}^{n} x_i y_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^{n} x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^{n} y_i^2\right) \).

Применим это неравенство, выбрав \(x_i = \sqrt{a_i}\) и \(y_i = \frac{1}{\sqrt{a_i}}\) для каждого \(i\) от \(1\) до \(n\). Поскольку все \(a_i\) являются положительными числами, \(\sqrt{a_i}\) и \(\frac{1}{\sqrt{a_i}}\) определены и являются действительными положительными числами.

Подставим эти значения в неравенство Коши-Буняковского:
Левая часть неравенства Коши-Буняковского будет:
\( \left(\sqrt{a_1} \cdot \frac{1}{\sqrt{a_1}} + \sqrt{a_2} \cdot \frac{1}{\sqrt{a_2}} + \ldots + \sqrt{a_n} \cdot \frac{1}{\sqrt{a_n}}\right)^2 \).
Упрощая каждый член в скобках, получаем \(\sqrt{a_i} \cdot \frac{1}{\sqrt{a_i}} = 1\).
Таким образом, левая часть становится:
\( (1 + 1 + \ldots + 1)^2 \).
Поскольку в сумме \(n\) единиц, эта сумма равна \(n\). Следовательно, левая часть равна \(n^2\).

Правая часть неравенства Коши-Буняковского будет:
\( \left((\sqrt{a_1})^2 + (\sqrt{a_2})^2 + \ldots + (\sqrt{a_n})^2\right) \left(\left(\frac{1}{\sqrt{a_1}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{a_2}}\right)^2 + \ldots + \left(\frac{1}{\sqrt{a_n}}\right)^2\right) \).
Упрощая квадраты, получаем \((\sqrt{a_i})^2 = a_i\) и \(\left(\frac{1}{\sqrt{a_i}}\right)^2 = \frac{1}{a_i}\).
Таким образом, правая часть становится:
\( (a_1 + a_2 + \ldots + a_n) \left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_n}\right) \).

Объединяя упрощенные левую и правую части, получаем неравенство:
\( n^2 \leq (a_1 + a_2 + \ldots + a_n) \left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_n}\right) \).

Это и есть доказываемое неравенство.
Неравенство доказано.