ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.49 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \((a + c)(b + d) \leq \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{c^2 + d^2} + \sqrt{c^2 + b^2} \cdot \sqrt{a^2 + d^2}\).

Доказать неравенство:
\((a + c)(b + d) \leq \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{c^2 + d^2} + \sqrt{c^2 + b^2} \cdot \sqrt{a^2 + d^2}\);

1) Первое неравенство:
\((ad + bc)^2 \leq (a^2 + b^2)(d^2 + c^2)\);
\(ad + bc \leq \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{c^2 + d^2}\);

2) Второе неравенство:
\((cd + ba)^2 \leq (c^2 + b^2)(d^2 + a^2)\);
\(cd + ba \leq \sqrt{c^2 + b^2} \cdot \sqrt{a^2 + d^2}\);

3) Просуммируем неравенства:
\((ad + bc) + (cd + ba) \leq \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{c^2 + d^2} + \sqrt{c^2 + b^2} \cdot \sqrt{a^2 + d^2}\);
\((a + c)(b + d) \leq \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{c^2 + d^2} + \sqrt{c^2 + b^2} \cdot \sqrt{a^2 + d^2}\);

Неравенство доказано.

Доказать неравенство: \((a + c)(b + d) \leq \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{c^2 + d^2} + \sqrt{c^2 + b^2} \cdot \sqrt{a^2 + d^2}\).

1) Первое неравенство:
Для доказательства данного неравенства мы воспользуемся неравенством Коши-Буняковского (также известным как неравенство Коши-Шварца). Неравенство Коши-Буняковского для двух векторов \((x_1, x_2)\) и \((y_1, y_2)\) гласит: \((x_1 y_1 + x_2 y_2)^2 \leq (x_1^2 + x_2^2)(y_1^2 + y_2^2)\).

Применим это неравенство к векторам \((a, b)\) и \((d, c)\). Здесь \(x_1 = a\), \(x_2 = b\), \(y_1 = d\), \(y_2 = c\). Подставляя эти значения в формулу, получаем:
\((ad + bc)^2 \leq (a^2 + b^2)(d^2 + c^2)\).

Извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства (при условии, что все переменные положительны, что обычно подразумевается в таких задачах, или что мы рассматриваем абсолютные значения), получаем:
\(ad + bc \leq \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{c^2 + d^2}\).

2) Второе неравенство:
Аналогично, применим неравенство Коши-Буняковского к векторам \((c, b)\) и \((d, a)\). Здесь \(x_1 = c\), \(x_2 = b\), \(y_1 = d\), \(y_2 = a\). Подставляя эти значения, получаем:
\((cd + ba)^2 \leq (c^2 + b^2)(d^2 + a^2)\).

Извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства, получаем:
\(cd + ba \leq \sqrt{c^2 + b^2} \cdot \sqrt{a^2 + d^2}\).

3) Просуммируем неравенства:
Теперь сложим левые и правые части двух полученных неравенств.
Складываем неравенство из пункта 1: \(ad + bc \leq \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{c^2 + d^2}\)
и неравенство из пункта 2: \(cd + ba \leq \sqrt{c^2 + b^2} \cdot \sqrt{a^2 + d^2}\).

Получаем:
\((ad + bc) + (cd + ba) \leq \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{c^2 + d^2} + \sqrt{c^2 + b^2} \cdot \sqrt{a^2 + d^2}\).

Далее, упростим левую часть этого неравенства:
\((ad + bc) + (cd + ba) = ad + bc + cd + ba\).
Перегруппируем члены:
\(ad + ba + bc + cd = a(d + b) + c(b + d)\).
Вынесем общий множитель \((b + d)\):
\((a + c)(b + d)\).

Таким образом, подставляя упрощенное выражение обратно в неравенство, получаем:
\((a + c)(b + d) \leq \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{c^2 + d^2} + \sqrt{c^2 + b^2} \cdot \sqrt{a^2 + d^2}\).

Неравенство доказано.