ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(a > 0\) и \(b > 0\), то \((a^3 + b)(b^3 + a) > 4a^2b^2\).

Доказать, что если \(a \ge 0\) и \(b \ge 0\), тогда:
\((a^3 + b)(b^3 + a) \ge 4a^2b^2\);

1) Первое неравенство:
\( \frac{a^3 + b}{2} \ge \sqrt{a^3b} \);
\(a^3 + b \ge 2\sqrt{a^3b}\);

2) Второе неравенство:
\( \frac{b^3 + a}{2} \ge \sqrt{b^3a} \);
\(b^3 + a \ge 2\sqrt{b^3a}\);

3) Перемножим неравенства:
\((a^3 + b)(b^3 + a) \ge 2\sqrt{a^3b} \cdot 2\sqrt{b^3a}\);
\((a^3 + b)(b^3 + a) \ge 4\sqrt{a^4b^4}\);
\((a^3 + b)(b^3 + a) \ge 4a^2b^2\);

Неравенство доказано.

Доказать, что если \(a \ge 0\) и \(b \ge 0\), тогда: \((a^3 + b)(b^3 + a) \ge 4a^2b^2\).

1) Первое неравенство:
Для неотрицательных чисел \(a^3\) и \(b\) применим неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (AM-GM), которое гласит, что для любых неотрицательных чисел \(x\) и \(y\), выполняется \(\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}\). Применяя это неравенство к \(x = a^3\) и \(y = b\), получаем:
\(\frac{a^3 + b}{2} \ge \sqrt{a^3b}\).
Умножая обе части неравенства на 2, получаем:
\(a^3 + b \ge 2\sqrt{a^3b}\).

2) Второе неравенство:
Аналогично, для неотрицательных чисел \(b^3\) и \(a\) применим неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Применяя его к \(x = b^3\) и \(y = a\), получаем:
\(\frac{b^3 + a}{2} \ge \sqrt{b^3a}\).
Умножая обе части неравенства на 2, получаем:
\(b^3 + a \ge 2\sqrt{b^3a}\).

3) Перемножим неравенства:
Теперь перемножим левые части и правые части двух полученных неравенств. Поскольку обе части каждого неравенства неотрицательны (так как \(a \ge 0\) и \(b \ge 0\)), знак неравенства сохраняется:
\((a^3 + b)(b^3 + a) \ge (2\sqrt{a^3b})(2\sqrt{b^3a})\).
Упростим правую часть выражения:
\((a^3 + b)(b^3 + a) \ge 4\sqrt{a^3b \cdot b^3a}\).
Объединим члены под корнем:
\((a^3 + b)(b^3 + a) \ge 4\sqrt{a^{3+1}b^{1+3}}\).
\((a^3 + b)(b^3 + a) \ge 4\sqrt{a^4b^4}\).
Извлечем квадратный корень, учитывая, что \(a^4b^4 = (a^2b^2)^2\):
\((a^3 + b)(b^3 + a) \ge 4\sqrt{(a^2b^2)^2}\).
Поскольку \(a \ge 0\) и \(b \ge 0\), то \(a^2b^2 \ge 0\), и \(\sqrt{(a^2b^2)^2} = a^2b^2\).
Следовательно:
\((a^3 + b)(b^3 + a) \ge 4a^2b^2\).

Неравенство доказано.