ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.50 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(a + b + c = 3\), то \(\sqrt[3]{a + 1} + \sqrt[3]{b + 1} + \sqrt[3]{c + 1} < 6\).

Доказать, что если \(a + b + c = 3\), тогда:
\(\sqrt{3a+1} + \sqrt{3b+1} + \sqrt{3c+1} \leq 6\);
По неравенству Коши-Буняковского:
\((\sqrt{3a + 1} + \sqrt{3b+1} + \sqrt{3c + 1})^2 \leq (1+1+1)((3a+1)+(3b + 1) +\)
\(+ (3c + 1))\);
\((\sqrt{3a + 1} + \sqrt{3b+1} + \sqrt{3c + 1})^2 \leq 3 \cdot 3((a + b + c) + 1)\);
\((\sqrt{3a +1} + \sqrt{3b+1} + \sqrt{3c + 1})^2 \leq 36\);
\(\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1} \leq 6\);
Неравенство доказано.

Доказать, что если \(a + b + c = 3\), тогда: \(\sqrt{3a+1} + \sqrt{3b+1} + \sqrt{3c+1} \leq 6\).

1. Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством Коши-Буняковского-Шварца (КБШ). Неравенство КБШ для трех слагаемых гласит:
\((x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3)^2 \leq (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)(y_1^2 + y_2^2 + y_3^2)\).
В нашем случае, мы можем представить каждое слагаемое в левой части доказываемого неравенства как произведение двух чисел. Пусть:
\(x_1 = \sqrt{3a+1}\), \(x_2 = \sqrt{3b+1}\), \(x_3 = \sqrt{3c+1}\).
И выберем \(y_1 = 1\), \(y_2 = 1\), \(y_3 = 1\).
Применяя неравенство КБШ, получаем:
\((1 \cdot \sqrt{3a+1} + 1 \cdot \sqrt{3b+1} + 1 \cdot \sqrt{3c+1})^2 \leq (1^2 + 1^2 + 1^2)( (\sqrt{3a+1})^2+\)
\( + (\sqrt{3b+1})^2 + (\sqrt{3c+1})^2 )\).
Это упрощается до:
\((\sqrt{3a+1} + \sqrt{3b+1} + \sqrt{3c+1})^2 \leq (1+1+1)((3a+1)+\)
\(+(3b+1)+(3c+1))\).

2. Далее упростим правую часть неравенства.
Первая скобка \( (1+1+1) \) равна \(3\).
Вторая скобка \( ((3a+1)+(3b+1)+(3c+1)) \) может быть раскрыта и перегруппирована:
\(3a+1+3b+1+3c+1 = (3a+3b+3c) + (1+1+1)\).
Вынесем общий множитель \(3\) из первых трех слагаемых:
\(3(a+b+c) + 3\).
Теперь вынесем общий множитель \(3\) из всего выражения:
\(3((a+b+c)+1)\).
Таким образом, правая часть неравенства становится:
\(3 \cdot 3((a+b+c)+1)\).

3. Используем данное условие \(a+b+c=3\). Подставим это значение в упрощенную правую часть неравенства:
\(3 \cdot 3((3)+1)\).
Выполним арифметические операции:
\(3 \cdot 3(4) = 9 \cdot 4 = 36\).
Следовательно, неравенство приобретает вид:
\((\sqrt{3a+1} + \sqrt{3b+1} + \sqrt{3c+1})^2 \leq 36\).

4. Извлечем квадратный корень из обеих частей неравенства. Поскольку левая часть представляет собой сумму квадратных корней, она неотрицательна.
\(\sqrt{(\sqrt{3a+1} + \sqrt{3b+1} + \sqrt{3c+1})^2} \leq \sqrt{36}\).
Получаем:
\(\sqrt{3a+1} + \sqrt{3b+1} + \sqrt{3c+1} \leq 6\).

5. Таким образом, исходное неравенство доказано.