ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.51 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \(\sqrt{2a + 5} + \sqrt{a — 3} + \sqrt{25 — 3a} < 9\).

Доказать неравенство: \(\sqrt{2a + 5} + \sqrt{a — 3} + \sqrt{25 — 3a} < 9\); 1) По неравенству Коши-Буняковского: \(\left(\sqrt{2a + 5} + \sqrt{a - 3} + \sqrt{25 - 3a}\right)^2 \leq (1 + 1 + 1)((2a + 5)+\) \( + (a - 3) + (25 - 3a))\); \(\left(\sqrt{2a + 5} + \sqrt{a - 3} + \sqrt{25 - 3a}\right)^2 \leq 3 \cdot 27\); \(\left(\sqrt{2a + 5} + \sqrt{a - 3} + \sqrt{25 - 3a}\right)^2 \leq 81\); \(\sqrt{2a + 5} + \sqrt{a - 3} + \sqrt{25 - 3a} \leq 9\); 2) Равенство достигается при: \(\begin{cases} 1 = k\sqrt{2a + 5} \\ 1 = k\sqrt{a - 3} \\ 1 = k\sqrt{25 - 3a} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k\sqrt{2a + 5} = k\sqrt{a - 3} \\ k\sqrt{a - 3} = k\sqrt{25 - 3a} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \sqrt{2a + 5} = \sqrt{a - 3} \\ \sqrt{a - 3} = \sqrt{25 - 3a} \end{cases}\); \(\begin{cases} 2a + 5 = a - 3 \\ a - 3 = 25 - 3a \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = -8 \\ 4a = 28 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = -8 \\ a = 7 \end{cases} \Rightarrow a \in \emptyset\); Неравенство доказано.

Доказать неравенство: \(\sqrt{2a + 5} + \sqrt{a — 3} + \sqrt{25 — 3a} < 9\); 1) Применение неравенства Коши-Буняковского. Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством Коши-Буняковского, которое гласит: для любых действительных чисел \(x_1, x_2, \dots, x_n\) и \(y_1, y_2, \dots, y_n\) выполняется \((x_1y_1 + x_2y_2 + \dots + x_ny_n)^2 \leq (x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2)(y_1^2 + y_2^2 + \dots + y_n^2)\). В нашем случае, мы можем определить \(x_1 = 1, x_2 = 1, x_3 = 1\) и \(y_1 = \sqrt{2a + 5}, y_2 = \sqrt{a - 3}, y_3 = \sqrt{25 - 3a}\). Подставляя эти значения в неравенство Коши-Буняковского, получаем: \(\left(1 \cdot \sqrt{2a + 5} + 1 \cdot \sqrt{a - 3} + 1 \cdot \sqrt{25 - 3a}\right)^2 \leq (1^2 + 1^2 +\) \(+ 1^2)\left((\sqrt{2a + 5})^2 + (\sqrt{a - 3})^2 + (\sqrt{25 - 3a})^2\right)\). Упростим обе части неравенства. Левая часть становится: \(\left(\sqrt{2a + 5} + \sqrt{a - 3} + \sqrt{25 - 3a}\right)^2\). Правая часть упрощается следующим образом: \((1 + 1 + 1)((2a + 5) + (a - 3) + (25 - 3a))\). Выполним сложение в первой скобке: \(1 + 1 + 1 = 3\). Выполним сложение во второй скобке: \(2a + a - 3a = 0a\) и \(5 - 3 + 25 = 2 + 25 = 27\). Таким образом, правая часть становится: \(3 \cdot (0a + 27) = 3 \cdot 27\). Вычисляем произведение: \(3 \cdot 27 = 81\). Следовательно, неравенство принимает вид: \(\left(\sqrt{2a + 5} + \sqrt{a - 3} + \sqrt{25 - 3a}\right)^2 \leq 81\). Извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства (поскольку сумма квадратных корней всегда неотрицательна), получаем: \(\sqrt{2a + 5} + \sqrt{a - 3} + \sqrt{25 - 3a} \leq \sqrt{81}\). \(\sqrt{2a + 5} + \sqrt{a - 3} + \sqrt{25 - 3a} \leq 9\). 2) Условие достижения равенства. Равенство в неравенстве Коши-Буняковского достигается тогда и только тогда, когда векторы \((x_1, x_2, x_3)\) и \((y_1, y_2, y_3)\) пропорциональны, то есть существует константа \(k\) такая, что \(y_i = kx_i\) для всех \(i\). В нашем случае это означает, что: \(\sqrt{2a + 5} = k \cdot 1\) \(\sqrt{a - 3} = k \cdot 1\) \(\sqrt{25 - 3a} = k \cdot 1\) Из этого следует, что все три выражения под корнями должны быть равны друг другу (при условии, что \(k \neq 0\)). Если \(k=0\), то все корни равны нулю, что требует \(2a+5=0\), \(a-3=0\), \(25-3a=0\), что невозможно одновременно. Таким образом, мы должны иметь: \(\begin{cases} \sqrt{2a + 5} = \sqrt{a - 3} \\ \sqrt{a - 3} = \sqrt{25 - 3a} \end{cases}\). Возведем обе части каждого уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней. Это допустимо, так как мы ищем условия для равенства, и выражения под корнями должны быть неотрицательными для их существования: \(\begin{cases} 2a + 5 = a - 3 \\ a - 3 = 25 - 3a \end{cases}\). Решим каждое уравнение по отдельности. Из первого уравнения: \(2a - a = -3 - 5\) \(a = -8\). Из второго уравнения: \(a + 3a = 25 + 3\) \(4a = 28\) \(a = \frac{28}{4}\) \(a = 7\). Для того чтобы равенство достигалось, значение \(a\) должно удовлетворять обоим уравнениям одновременно. То есть, мы должны иметь \(a = -8\) и \(a = 7\) одновременно. Очевидно, что это невозможно, так как \(a\) не может принимать два разных значения одновременно. Следовательно, не существует такого значения \(a\), при котором достигается равенство. Множество значений \(a\), при которых достигается равенство, является пустым множеством, обозначаемым \(\emptyset\). Поскольку мы доказали, что \(\sqrt{2a + 5} + \sqrt{a - 3} + \sqrt{25 - 3a} \leq 9\), и показали, что равенство никогда не достигается, то строгое неравенство \(\sqrt{2a + 5} + \sqrt{a - 3} + \sqrt{25 - 3a} < 9\) является истинным для всех допустимых значений \(a\). Неравенство доказано.