ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.52 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение \(\sqrt{x — 2} + \sqrt{4 — x} = x^2 — 6x + 11\).

Решить уравнение: \(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x} = x^2-6x + 11\);

1) По неравенству Коши-Буняковского:
\((1\cdot\sqrt{x-2}+1\cdot\sqrt{4-x})^2 \le (1+1)((x — 2) + (4-x))\);
\((\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x})^2 \le 2\cdot2\);
\(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x} \le 2\);

2) Координаты вершины параболы:
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3\);
\(y_0 = 3^2 — 6\cdot3 + 11 = 9 — 18 + 11 = 2\);

3) Выполним проверку:
\(\sqrt{3-2}+\sqrt{4-3} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 2\);

Ответ: \(x = 3\).

Решить уравнение: \(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x} = x^2-6x + 11\);

1) Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Выражения под квадратными корнями должны быть неотрицательными:
\(x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2\)
\(4-x \ge 0 \Rightarrow x \le 4\)
Таким образом, ОДЗ уравнения: \(x \in [2, 4]\).

Теперь применим неравенство Коши-Буняковского (или неравенство Коши-Шварца) к левой части уравнения. Неравенство гласит, что для любых действительных чисел \(a_1, a_2, b_1, b_2\) выполняется: \((a_1b_1 + a_2b_2)^2 \le (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2)\).
В нашем случае, пусть \(a_1 = 1\), \(b_1 = \sqrt{x-2}\), \(a_2 = 1\), \(b_2 = \sqrt{4-x}\).
Подставляем эти значения в неравенство:
\((1\cdot\sqrt{x-2} + 1\cdot\sqrt{4-x})^2 \le (1^2 + 1^2)((\sqrt{x-2})^2 + (\sqrt{4-x})^2)\)
Упрощаем правую часть:
\((1\cdot\sqrt{x-2}+1\cdot\sqrt{4-x})^2 \le (1+1)((x-2) + (4-x))\)
\((1\cdot\sqrt{x-2}+1\cdot\sqrt{4-x})^2 \le 2(x-2+4-x)\)
\((1\cdot\sqrt{x-2}+1\cdot\sqrt{4-x})^2 \le 2(2)\)
\((1\cdot\sqrt{x-2}+1\cdot\sqrt{4-x})^2 \le 4\)
Извлекая квадратный корень из обеих частей (поскольку левая часть неотрицательна):
\(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x} \le \sqrt{4}\)
\(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x} \le 2\).
Это означает, что максимальное значение левой части уравнения равно 2. Равенство в неравенстве Коши-Буняковского достигается тогда и только тогда, когда векторы \((a_1, a_2)\) и \((b_1, b_2)\) пропорциональны, то есть \(\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}\).
В нашем случае это означает \(\frac{1}{\sqrt{x-2}} = \frac{1}{\sqrt{4-x}}\).
Отсюда следует \(\sqrt{x-2} = \sqrt{4-x}\).
Возводим обе части в квадрат: \(x-2 = 4-x\).
Переносим \(x\) в одну сторону, константы в другую: \(x+x = 4+2\).
\(2x = 6\).
\(x = 3\).
Таким образом, левая часть уравнения достигает своего максимального значения 2 только при \(x=3\).

2) Рассмотрим правую часть уравнения, которая является квадратичной функцией: \(f(x) = x^2-6x + 11\).
Это парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент при \(x^2\) равен 1, что больше нуля). Минимальное значение параболы \(ax^2+bx+c\) достигается в ее вершине.
Координата \(x\) вершины параболы определяется формулой \(x_0 = -\frac{b}{2a}\).
Для нашей функции \(f(x) = x^2-6x + 11\), имеем \(a=1\), \(b=-6\), \(c=11\).
Вычисляем \(x_0\):
\(x_0 = -\frac{-6}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3\).
Теперь найдем соответствующую координату \(y\) вершины, подставив \(x_0 = 3\) в функцию:
\(y_0 = f(3) = 3^2 — 6\cdot3 + 11\)
\(y_0 = 9 — 18 + 11\)
\(y_0 = -9 + 11\)
\(y_0 = 2\).
Следовательно, минимальное значение правой части уравнения равно 2, и оно достигается при \(x=3\).

3) Мы установили, что максимальное значение левой части уравнения равно 2 (и достигается только при \(x=3\)), а минимальное значение правой части уравнения также равно 2 (и достигается только при \(x=3\)).
Для того чтобы уравнение \(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x} = x^2-6x + 11\) имело решение, обе его части должны быть равны. Поскольку левая часть не может быть больше 2, а правая часть не может быть меньше 2, единственная возможность для их равенства — это когда обе части равны 2. Это происходит только при \(x=3\).
Выполним проверку, подставив \(x=3\) в исходное уравнение:
Левая часть: \(\sqrt{3-2}+\sqrt{4-3} = \sqrt{1}+\sqrt{1} = 1+1 = 2\).
Правая часть: \(3^2-6\cdot3+11 = 9-18+11 = -9+11 = 2\).
Поскольку \(2=2\), значение \(x=3\) является решением уравнения.

Ответ: \(x = 3\).