ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.53 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение \(\sqrt{1 — x} + \sqrt{1 + x} = x^2 + 2\).

Решить уравнение: \(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x} = x^2 + 2\);
1) По неравенству Коши-Буняковского:
\((1 \cdot \sqrt{1-x} + 1 \cdot \sqrt{1+x})^2 \leq (1+1)((1-x)+(1+x))\);
\((\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x})^2 \leq 2 \cdot 2\);
\(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x} \leq 2\);
2) Координаты вершины параболы:
\(x_0 = 0\), \(y_0 = 2\);
3) Выполним проверку:
\(\sqrt{1-0} + \sqrt{1+0} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 2\);
Ответ: \(x = 0\).

Решить уравнение: \(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x} = x^2 + 2\);

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для уравнения. Для того чтобы квадратные корни были определены, выражения под корнями должны быть неотрицательными:
Таким образом, ОДЗ уравнения: \([-1, 1]\).

1) По неравенству Коши-Буняковского:
Рассмотрим левую часть уравнения: \(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x}\).
Применим неравенство Коши-Буняковского для векторов \((1, 1)\) и \((\sqrt{1-x}, \sqrt{1+x})\).
\((1 \cdot \sqrt{1-x} + 1 \cdot \sqrt{1+x})^2 \le (1^2 + 1^2)((\sqrt{1-x})^2 + (\sqrt{1+x})^2)\).
Упрощаем выражение:
\((\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x})^2 \le (1+1)((1-x) + (1+x))\).
\((\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x})^2 \le 2(1-x+1+x)\).
\((\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x})^2 \le 2(2)\).
\((\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x})^2 \le 4\).
Извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства (поскольку сумма корней неотрицательна), получаем:
\(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x} \le \sqrt{4}\).
\(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x} \le 2\).
Это означает, что максимальное значение левой части уравнения равно 2. Равенство достигается, когда векторы пропорциональны, то есть \(\frac{1}{\sqrt{1-x}} = \frac{1}{\sqrt{1+x}}\), что приводит к \(1-x = 1+x\), откуда \(2x = 0\), и \(x=0\). При \(x=0\), левая часть равна \(\sqrt{1-0} + \sqrt{1+0} = 1+1 = 2\).

2) Координаты вершины параболы:
Рассмотрим правую часть уравнения: \(x^2 + 2\).
Это уравнение параболы \(y = x^2 + 2\).
Вершина параболы \(y = ax^2 + bx + c\) находится в точке с координатами \(x_0 = -\frac{b}{2a}\) и \(y_0 = f(x_0)\).
Для \(y = x^2 + 2\), \(a=1\), \(b=0\), \(c=2\).
Следовательно, \(x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0\).
И \(y_0 = 0^2 + 2 = 2\).
Таким образом, координаты вершины параболы: \(x_0 = 0\), \(y_0 = 2\).
Это означает, что минимальное значение правой части уравнения равно 2, и оно достигается при \(x=0\).

Сравнивая обе части уравнения, мы видим, что максимальное значение левой части равно 2, а минимальное значение правой части равно 2. Для того чтобы уравнение \(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x} = x^2 + 2\) имело решение, обе части должны быть равны 2. Это возможно только в том случае, если \(x=0\), так как именно при этом значении \(x\) левая часть достигает своего максимума, а правая часть — своего минимума.

3) Выполним проверку:
Подставим найденное значение \(x=0\) в исходное уравнение:
\(\sqrt{1-0} + \sqrt{1+0} = 0^2 + 2\).
\(\sqrt{1} + \sqrt{1} = 0 + 2\).
\(1 + 1 = 2\).
\(2 = 2\).
Равенство выполняется, что подтверждает правильность решения.

Ответ: \(x = 0\).