ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.54 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение \(2\sqrt{x — 1} + 5x = (x^2 + 4)(x + 24)\).

Решить уравнение: \(2\sqrt{x-1} + 5x = \sqrt{(x^2+4)(x+24)}\);

1) По неравенству Коши-Буняковского:
\( (2\sqrt{x-1} + x \cdot 5)^2 \le (2^2 + x^2)((x-1) + 5^2); \)
\( (2\sqrt{x-1} + 5x)^2 \le (x^2 + 4)(x — 1 + 25); \)
\( 2\sqrt{x-1} + 5x \le \sqrt{(x^2 + 4)(x + 24)}; \)

2) Равенство достигается при:
\( \begin{cases} 2 = k\sqrt{x-1} \\ 5 = kx \end{cases} \); (:)
\( \frac{2}{5} = \frac{\sqrt{x-1}}{x}; \)
\( 2x = 5\sqrt{x-1}; \)
\( 4x^2 = 25(x-1); \)
\( 4x^2 — 25x + 25 = 0; \)
\( D = 25^2 — 4 \cdot 4 \cdot 25 = 625 — 400 = 225 \), тогда:
\( x_1 = \frac{25 — 15}{2 \cdot 4} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} \) и \( x_2 = \frac{25 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{40}{8} = 5; \)

3) Выполним проверку:
\( 2\sqrt{\frac{5}{4}-1} + 5 \cdot \frac{5}{4} = \sqrt{(\frac{25}{16}+4)(\frac{5}{4}+24)} = 1 + \frac{25}{4} — \sqrt{\frac{89}{16} \cdot \frac{101}{4}} \ne 0; \)
\( 2\sqrt{5-1} + 5 \cdot 5 = \sqrt{(25+4)(5+24)} = 4 + 25 — \sqrt{29 \cdot 29} = 0; \)

Ответ: \(x = 5\).

Решить уравнение: \(2\sqrt{x-1} + 5x = \sqrt{(x^2+4)(x+24)}\);

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения.
Для существования \(\sqrt{x-1}\) необходимо, чтобы \(x-1 \ge 0\), то есть \(x \ge 1\).
Для существования \(\sqrt{(x^2+4)(x+24)}\) необходимо, чтобы \((x^2+4)(x+24) \ge 0\). Поскольку \(x^2+4\) всегда положительно для любого действительного \(x\), то требуется, чтобы \(x+24 \ge 0\), то есть \(x \ge -24\).
Таким образом, пересечение этих условий дает ОДЗ: \(x \ge 1\).

1) По неравенству Коши-Буняковского:
Применим неравенство Коши-Буняковского \((a_1b_1 + a_2b_2)^2 \le (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2)\) к левой части уравнения \(2\sqrt{x-1} + 5x\).
Пусть \(a_1 = 2\), \(b_1 = \sqrt{x-1}\), \(a_2 = x\), \(b_2 = 5\).
Тогда:
\( (2 \cdot \sqrt{x-1} + x \cdot 5)^2 \le (2^2 + x^2)((\sqrt{x-1})^2 + 5^2); \)
\( (2\sqrt{x-1} + 5x)^2 \le (4 + x^2)(x-1 + 25); \)
\( (2\sqrt{x-1} + 5x)^2 \le (x^2 + 4)(x + 24); \)
Извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства (поскольку обе части неотрицательны в ОДЗ \(x \ge 1\)):
\( 2\sqrt{x-1} + 5x \le \sqrt{(x^2 + 4)(x + 24)}; \)
Исходное уравнение имеет вид \(2\sqrt{x-1} + 5x = \sqrt{(x^2+4)(x+24)}\). Это означает, что для решения уравнения должно выполняться условие равенства в неравенстве Коши-Буняковского.

2) Равенство достигается при:
Равенство в неравенстве Коши-Буняковского достигается тогда, когда векторы \((a_1, a_2)\) и \((b_1, b_2)\) пропорциональны, то есть существует константа \(k\) такая, что \(a_1 = kb_1\) и \(a_2 = kb_2\). В данном случае это означает:
\( \begin{cases} 2 = k\sqrt{x-1} \\ 5 = kx \end{cases} \)
Разделим первое уравнение на второе (при условии \(k \ne 0\) и \(x \ne 0\), что справедливо в ОДЗ \(x \ge 1\)):
\( \frac{2}{5} = \frac{k\sqrt{x-1}}{kx}; \)
\( \frac{2}{5} = \frac{\sqrt{x-1}}{x}; \)
Перемножим крест-накрест:
\( 2x = 5\sqrt{x-1}; \)
Так как \(x \ge 1\), обе части уравнения неотрицательны, поэтому можем возвести обе части в квадрат:
\( (2x)^2 = (5\sqrt{x-1})^2; \)
\( 4x^2 = 25(x-1); \)
\( 4x^2 = 25x — 25; \)
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\( 4x^2 — 25x + 25 = 0; \)
Найдем дискриминант \(D\) этого квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) по формуле \(D = b^2 — 4ac\):
\( D = (-25)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 25 = 625 — 400 = 225; \)
Теперь найдем корни уравнения по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):
\( x_1 = \frac{-(-25) — \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{25 — 15}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}; \)
\( x_2 = \frac{-(-25) + \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{25 + 15}{8} = \frac{40}{8} = 5; \)
Оба найденных корня, \(x_1 = \frac{5}{4}\) и \(x_2 = 5\), удовлетворяют ОДЗ \(x \ge 1\).

3) Выполним проверку:
Необходимо проверить каждый из найденных корней, подставив их в исходное уравнение.

Проверка для \(x = \frac{5}{4}\):
Левая часть (ЛЧ): \(2\sqrt{x-1} + 5x = 2\sqrt{\frac{5}{4}-1} + 5 \cdot \frac{5}{4} = 2\sqrt{\frac{1}{4}} + \frac{25}{4} = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{25}{4} = 1 + \frac{25}{4} = \frac{4+25}{4} = \frac{29}{4}\).
Правая часть (ПЧ): \(\sqrt{(x^2+4)(x+24)}\).
При \(x = \frac{5}{4}\):
\(x^2+4 = \left(\frac{5}{4}\right)^2+4 = \frac{25}{16}+4 = \frac{25+64}{16} = \frac{89}{16}\).
\(x+24 = \frac{5}{4}+24 = \frac{5+96}{4} = \frac{101}{4}\).
Тогда ПЧ = \(\sqrt{\left(\frac{89}{16}\right)\left(\frac{101}{4}\right)} = \sqrt{\frac{89 \cdot 101}{16 \cdot 4}} = \sqrt{\frac{8989}{64}} = \frac{\sqrt{8989}}{8}\).
Сравним ЛЧ и ПЧ: \(\frac{29}{4} \stackrel{?}{=} \frac{\sqrt{8989}}{8}\).
Умножим обе части на 8: \(2 \cdot 29 \stackrel{?}{=} \sqrt{8989}\), то есть \(58 \stackrel{?}{=} \sqrt{8989}\).
Возведем обе части в квадрат: \(58^2 = 3364\), а \(\left(\sqrt{8989}\right)^2 = 8989\).
Так как \(3364 \ne 8989\), \(x = \frac{5}{4}\) не является решением исходного уравнения.

Проверка для \(x = 5\):
Левая часть (ЛЧ): \(2\sqrt{x-1} + 5x = 2\sqrt{5-1} + 5 \cdot 5 = 2\sqrt{4} + 25 = 2 \cdot 2 + 25 = 4 + 25 = 29\).
Правая часть (ПЧ): \(\sqrt{(x^2+4)(x+24)}\).
При \(x = 5\):
\(x^2+4 = 5^2+4 = 25+4 = 29\).
\(x+24 = 5+24 = 29\).
Тогда ПЧ = \(\sqrt{(29)(29)} = \sqrt{29^2} = 29\).
Сравним ЛЧ и ПЧ: \(29 = 29\).
Равенство выполняется, следовательно, \(x = 5\) является решением исходного уравнения.

Ответ: \(x = 5\).