ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.55 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(x^2 + y^2 + z^2 = 44\), то \(|3x — y + z| \leq 22\).

Известно, что: \(x^2 + y^2 + z^2 = 44\);
Доказать неравенство: \(|3x — y + z| \leq 22\);

По неравенству Коши-Буняковского:
\((3x-y+z)^2 \leq (3^2 + (-1)^2 + 1^2)(x^2 + y^2 + z^2)\);
\((3x-y+z)^2 \leq (9+1+1) \cdot 44\);
\((3x-y+z)^2 \leq 44 \cdot 11\);
\((3x-y+z)^2 \leq 484\);
\(|3x-y+z| \leq 22\);

Неравенство доказано.

Известно, что нам дано равенство: \(x^2 + y^2 + z^2 = 44\).
Нашей задачей является доказать следующее неравенство: \(|3x — y + z| \leq 22\).

Для доказательства данного неравенства мы воспользуемся неравенством Коши-Буняковского (также известным как неравенство Коши-Шварца). Это неравенство гласит, что для любых действительных чисел \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) и \(b_1, b_2, \ldots, b_n\) справедливо:
\( (a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \ldots + b_n^2) \).
В нашем случае, мы можем сопоставить члены выражения \(3x — y + z\) с формой \(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\).
Пусть \(a_1 = 3\), \(a_2 = -1\), \(a_3 = 1\).
И пусть \(b_1 = x\), \(b_2 = y\), \(b_3 = z\).
Тогда, подставляя эти значения в неравенство Коши-Буняковского, получаем:
\((3 \cdot x + (-1) \cdot y + 1 \cdot z)^2 \leq (3^2 + (-1)^2 + 1^2)(x^2 + y^2 + z^2)\).
Это упрощается до:
\((3x — y + z)^2 \leq (3^2 + (-1)^2 + 1^2)(x^2 + y^2 + z^2)\).

Теперь вычислим сумму квадратов коэффициентов:
\(3^2 + (-1)^2 + 1^2 = 9 + 1 + 1 = 11\).

Подставим полученное значение \(11\) и данное нам условие \(x^2 + y^2 + z^2 = 44\) в неравенство:
\((3x — y + z)^2 \leq (11)(44)\).

Выполним умножение:
\(11 \cdot 44 = 484\).
Таким образом, неравенство принимает вид:
\((3x — y + z)^2 \leq 484\).

Чтобы избавиться от квадрата в левой части, возьмем квадратный корень из обеих сторон неравенства. Важно помнить, что при извлечении квадратного корня из квадрата выражения, мы получаем абсолютное значение этого выражения: \(\sqrt{A^2} = |A|\).
Следовательно:
\(\sqrt{(3x — y + z)^2} \leq \sqrt{484}\).
Что дает:
\(|3x — y + z| \leq \sqrt{484}\).

Вычислим квадратный корень из \(484\):
\(\sqrt{484} = 22\).
Таким образом, мы окончательно получаем неравенство:
\(|3x — y + z| \leq 22\).
Это завершает доказательство исходного неравенства.