ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.56 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \(x^2 + y^2 + z^2 = 2\). Докажите неравенство \(|2x + y — z| < 4\sqrt{2}\).

Известно, что: \(x^2 + 3y^2 + z^2 = 2\);
Доказать неравенство: \(|2x + y — z| \le 4\sqrt{\frac{2}{3}}\);
По неравенству Коши-Буняковского:
\( \left(2x + \frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{3}y — z\right)^2 \le \left(2^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + (-1)^2\right)\left(x^2 + 3y^2 + z^2\right)\);
\( (2x + y — z)^2 \le \left(4 + \frac{1}{3} + 1\right) \cdot 2\);
\( (2x + y — z)^2 \le \frac{16}{3} \cdot 2\);
\( |2x + y — z| \le 4\sqrt{\frac{2}{3}}\)
Неравенство доказано.

Известно, что: \(x^2 + 3y^2 + z^2 = 2\);
Доказать неравенство: \(|2x + y — z| \le 4\sqrt{\frac{2}{3}}\);

По неравенству Коши-Буняковского:
Неравенство Коши-Буняковского для трех действительных чисел \(a_1, a_2, a_3\) и \(b_1, b_2, b_3\) гласит:
\( (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) \).
Для применения этого неравенства к выражению \(2x + y — z\), мы можем представить его в виде суммы произведений.
Пусть \(b_1 = x\), \(b_2 = \sqrt{3}y\), \(b_3 = z\). Тогда \(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 = x^2 + (\sqrt{3}y)^2 + z^2 = x^2 + 3y^2 + z^2\).
Теперь нам нужно найти такие \(a_1, a_2, a_3\), чтобы \(a_1x + a_2(\sqrt{3}y) + a_3z = 2x + y — z\).
Сравнивая коэффициенты, получаем:
\(a_1 = 2\)
\(a_3 = -1\)
Подставляя эти значения в неравенство Коши-Буняковского:
\( \left(2 \cdot x + \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (\sqrt{3}y) + (-1) \cdot z\right)^2 \le \left(2^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + (-1)^2\right)\)
\(\left(x^2 + (\sqrt{3}y)^2 + z^2\right) \)
Что упрощается до:
\( \left(2x + y — z\right)^2 \le \left(2^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + (-1)^2\right)\left(x^2 + 3y^2 + z^2\right) \)

Далее, упрощаем правую часть неравенства:
Вычисляем сумму квадратов коэффициентов \(a_i\):
\( 2^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + (-1)^2 = 4 + \frac{1}{3} + 1 \)
Складываем эти значения:
\( 4 + 1 + \frac{1}{3} = 5 + \frac{1}{3} = \frac{15}{3} + \frac{1}{3} = \frac{16}{3} \)
Известно, что \(x^2 + 3y^2 + z^2 = 2\). Подставляем это значение в правую часть неравенства:
\( (2x + y — z)^2 \le \left(\frac{16}{3}\right) \cdot 2 \)

Умножаем значения в правой части:
\( (2x + y — z)^2 \le \frac{32}{3} \)

Чтобы получить неравенство для \(|2x + y — z|\), извлекаем квадратный корень из обеих частей неравенства. При извлечении квадратного корня из квадрата выражения, мы получаем его абсолютное значение:
\( \sqrt{(2x + y — z)^2} \le \sqrt{\frac{32}{3}} \)
\( |2x + y — z| \le \sqrt{\frac{32}{3}} \)
Упрощаем квадратный корень в правой части:
\( \sqrt{\frac{32}{3}} = \sqrt{\frac{16 \cdot 2}{3}} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = 4\sqrt{\frac{2}{3}} \)
Таким образом, получаем:
\( |2x + y — z| \le 4\sqrt{\frac{2}{3}} \)

Неравенство доказано.