Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.57 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что если \(a > 1\) и \(b > 1\), то \(\frac{a}{b — 1} + \frac{b}{a — 1} > 4\).
Доказать, что если \(a > 1\) и \(b > 1\), тогда:
\( \frac{a}{\sqrt{b-1}} + \frac{b}{\sqrt{a-1}} \ge 4; \)
1) Вспомогательное неравенство:
\( \frac{(x-1)+1}{2} \ge \sqrt{(x-1) \cdot 1}; \)
\( \frac{x}{2} \ge \sqrt{x-1}; \)
2) Из исходного неравенства:
\( \frac{a}{\sqrt{b-1}} + \frac{b}{\sqrt{a-1}} \ge 2 \sqrt{\frac{a}{\sqrt{b-1}} \cdot \frac{b}{\sqrt{a-1}}}; \)
\( \frac{a}{\sqrt{b-1}} + \frac{b}{\sqrt{a-1}} \ge 2 \sqrt{2 \cdot 2} = 2 \cdot 2 = 4; \)
Неравенство доказано.
Доказать, что если \(a > 1\) и \(b > 1\), тогда:
\( \frac{a}{\sqrt{b-1}} + \frac{b}{\sqrt{a-1}} \ge 4; \)
1) Вспомогательное неравенство:
Применим неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом для чисел \((x-1)\) и \(1\). Поскольку \(x > 1\), то \(x-1 > 0\).
\( \frac{(x-1)+1}{2} \ge \sqrt{(x-1) \cdot 1}; \)
Упрощая левую часть, получаем \( \frac{x}{2} \). Упрощая правую часть, получаем \( \sqrt{x-1} \).
Таким образом, вспомогательное неравенство имеет вид:
\( \frac{x}{2} \ge \sqrt{x-1}; \)
Из этого неравенства следует, что \( x \ge 2\sqrt{x-1} \).
Разделив обе части на \( \sqrt{x-1} \) (что возможно, так как \( \sqrt{x-1} > 0 \) при \(x > 1\)), получаем:
\( \frac{x}{\sqrt{x-1}} \ge 2 \).
Это означает, что \( \frac{a}{\sqrt{a-1}} \ge 2 \) и \( \frac{b}{\sqrt{b-1}} \ge 2 \).
2) Из исходного неравенства:
Применим неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом к членам \( \frac{a}{\sqrt{b-1}} \) и \( \frac{b}{\sqrt{a-1}} \). Поскольку \(a > 1\) и \(b > 1\), оба члена положительны.
\( \frac{a}{\sqrt{b-1}} + \frac{b}{\sqrt{a-1}} \ge 2 \sqrt{\frac{a}{\sqrt{b-1}} \cdot \frac{b}{\sqrt{a-1}}}; \)
Преобразуем выражение под корнем:
\( \sqrt{\frac{a}{\sqrt{b-1}} \cdot \frac{b}{\sqrt{a-1}}} = \sqrt{\frac{a \cdot b}{\sqrt{(b-1)(a-1)}}} = \sqrt{\frac{a}{\sqrt{a-1}} \cdot \frac{b}{\sqrt{b-1}}} \)
Используя результат вспомогательного неравенства \( \frac{x}{\sqrt{x-1}} \ge 2 \), мы знаем, что \( \frac{a}{\sqrt{a-1}} \ge 2 \) и \( \frac{b}{\sqrt{b-1}} \ge 2 \).
Подставляя эти минимальные значения, получаем:
\( 2 \sqrt{\frac{a}{\sqrt{a-1}} \cdot \frac{b}{\sqrt{b-1}}} \ge 2 \sqrt{2 \cdot 2} = 2 \sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4 \).
Следовательно,
\( \frac{a}{\sqrt{b-1}} + \frac{b}{\sqrt{a-1}} \ge 4; \)
Неравенство доказано.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.