ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.59 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \(a > 0\), \(b > 0\) и \(a + b = 1\). Докажите, что \((a + 1)^2 + (b + 2)^2 > 2.5\).

Известно, что: \(a > 0, b > 0\) и \(a + b = 1\);
Доказать неравенство: \(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{a}\right)^2 \ge \frac{25}{2}\);

1) Вспомогательное неравенство:
\(\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}\);
\(\frac{1}{2} \ge \sqrt{ab}\);
\(ab \le \frac{1}{4}\);

2) Из исходного неравенства:
\(\frac{\left(a+\frac{1}{b}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{a}\right)^2}{2} \ge \left(\frac{\left(a+\frac{1}{b}\right) + \left(b+\frac{1}{a}\right)}{2}\right)^2\);
\(\frac{\left(a+\frac{1}{b}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{a}\right)^2}{2} \ge \frac{\left((a+b) + \frac{a+b}{ab}\right)^2}{4}\);
\(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{a}\right)^2 \ge \frac{\left(1 + 1:\frac{1}{4}\right)^2}{2} = \frac{5^2}{2} = \frac{25}{2}\);

Неравенство доказано.

Известно, что: \(a > 0\), \(b > 0\) и \(a + b = 1\);
Доказать неравенство: \(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{a}\right)^2 \ge \frac{25}{2}\);

1) Вспомогательное неравенство:
По неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом для положительных чисел \(a\) и \(b\), имеем:
\(\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}\)
Подставляя известное условие \(a + b = 1\), получаем:
\(\frac{1}{2} \ge \sqrt{ab}\)
Возводим обе части неравенства в квадрат:
\(\left(\frac{1}{2}\right)^2 \ge (\sqrt{ab})^2\)
\(\frac{1}{4} \ge ab\)
Таким образом, мы получили вспомогательное неравенство:
\(ab \le \frac{1}{4}\)

2) Из исходного неравенства:
Применим неравенство \(\frac{x^2+y^2}{2} \ge \left(\frac{x+y}{2}\right)^2\), которое эквивалентно \((x-y)^2 \ge 0\).
Пусть \(x = a+\frac{1}{b}\) и \(y = b+\frac{1}{a}\). Тогда:
\(\frac{\left(a+\frac{1}{b}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{a}\right)^2}{2} \ge \left(\frac{\left(a+\frac{1}{b}\right) + \left(b+\frac{1}{a}\right)}{2}\right)^2\)
Умножим обе части на 2:
\(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{a}\right)^2 \ge 2 \cdot \left(\frac{a+\frac{1}{b} + b+\frac{1}{a}}{2}\right)^2\)
Упростим выражение в скобках:
\(a+\frac{1}{b} + b+\frac{1}{a} = (a+b) + \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Приведем дроби к общему знаменателю:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} = \frac{b+a}{ab}\)
Теперь подставим это обратно в неравенство:
\(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{a}\right)^2 \ge 2 \cdot \left(\frac{(a+b) + \frac{a+b}{ab}}{2}\right)^2\)
Используя условие \(a+b=1\):
\(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{a}\right)^2 \ge 2 \cdot \left(\frac{1 + \frac{1}{ab}}{2}\right)^2\)
\(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{a}\right)^2 \ge 2 \cdot \frac{\left(1 + \frac{1}{ab}\right)^2}{4}\)
\(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{a}\right)^2 \ge \frac{\left(1 + \frac{1}{ab}\right)^2}{2}\)
Из вспомогательного неравенства мы знаем, что \(ab \le \frac{1}{4}\).
Это означает, что \(\frac{1}{ab} \ge \frac{1}{\frac{1}{4}}\), то есть \(\frac{1}{ab} \ge 4\).
Следовательно, \(1 + \frac{1}{ab} \ge 1 + 4\), что дает \(1 + \frac{1}{ab} \ge 5\).
Возводим обе части в квадрат:
\(\left(1 + \frac{1}{ab}\right)^2 \ge 5^2\)
\(\left(1 + \frac{1}{ab}\right)^2 \ge 25\)
Подставляем это значение обратно в неравенство:
\(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{a}\right)^2 \ge \frac{25}{2}\)

Неравенство доказано.