ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\), то \(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq 3\).

Доказать, что если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\), тогда:
\((a^2 + \frac{1}{bc})(b^2 + \frac{1}{ca})(c^2 + \frac{1}{ab}) \ge 8\);

1) Если \(x > 0\), \(y > 0\), \(z > 0\), тогда:
\(\frac{1}{2} \cdot (x^2 + \frac{1}{yz}) \ge \sqrt{\frac{x^2}{yz}}\);
\(x^2 + \frac{1}{yz} \ge \frac{2x}{\sqrt{yz}}\);

2) В исходном неравенстве:
\((a^2 + \frac{1}{bc})(b^2 + \frac{1}{ca})(c^2 + \frac{1}{ab}) \ge \frac{2a}{\sqrt{bc}} \cdot \frac{2b}{\sqrt{ca}} \cdot \frac{2c}{\sqrt{ab}}\);
\((a^2 + \frac{1}{bc})(b^2 + \frac{1}{ca})(c^2 + \frac{1}{ab}) \ge 8\);

Неравенство доказано.

Доказать, что если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\), тогда:
\((a^2 + \frac{1}{bc})(b^2 + \frac{1}{ca})(c^2 + \frac{1}{ab}) \ge 8\);

1) Если \(x > 0\), \(y > 0\), \(z > 0\), то по неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом (AM-GM) для двух положительных чисел \(x^2\) и \(\frac{1}{yz}\) имеем:
\(\frac{x^2 + \frac{1}{yz}}{2} \ge \sqrt{x^2 \cdot \frac{1}{yz}}\)
\(\frac{1}{2} \cdot (x^2 + \frac{1}{yz}) \ge \sqrt{\frac{x^2}{yz}}\);
Умножая обе части неравенства на 2, получаем:
\(x^2 + \frac{1}{yz} \ge 2\sqrt{\frac{x^2}{yz}}\);
Поскольку \(x > 0\), \(\sqrt{x^2} = x\). Следовательно:
\(x^2 + \frac{1}{yz} \ge \frac{2x}{\sqrt{yz}}\);
Это неравенство будет использоваться для каждого множителя в исходном выражении.

2) Применим доказанное в пункте 1 неравенство к каждому множителю исходного выражения:
Для первого множителя \((a^2 + \frac{1}{bc})\), где \(x=a\), \(y=b\), \(z=c\):
\(a^2 + \frac{1}{bc} \ge \frac{2a}{\sqrt{bc}}\);

Для второго множителя \((b^2 + \frac{1}{ca})\), где \(x=b\), \(y=c\), \(z=a\):
\(b^2 + \frac{1}{ca} \ge \frac{2b}{\sqrt{ca}}\);

Для третьего множителя \((c^2 + \frac{1}{ab})\), где \(x=c\), \(y=a\), \(z=b\):
\(c^2 + \frac{1}{ab} \ge \frac{2c}{\sqrt{ab}}\);

Поскольку все множители \(a, b, c\) положительны, то и все выражения в неравенствах положительны. Мы можем перемножить эти три неравенства:
\((a^2 + \frac{1}{bc})(b^2 + \frac{1}{ca})(c^2 + \frac{1}{ab}) \ge \left(\frac{2a}{\sqrt{bc}}\right) \left(\frac{2b}{\sqrt{ca}}\right) \left(\frac{2c}{\sqrt{ab}}\right)\);

Упростим правую часть неравенства:
\(\left(\frac{2a}{\sqrt{bc}}\right) \left(\frac{2b}{\sqrt{ca}}\right) \left(\frac{2c}{\sqrt{ab}}\right) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \frac{a \cdot b \cdot c}{\sqrt{bc \cdot ca \cdot ab}}\);
\(= 8 \cdot \frac{abc}{\sqrt{a^2b^2c^2}}\);
\(= 8 \cdot \frac{abc}{|abc|}\);
Так как \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\), то \(abc > 0\), и следовательно \(|abc| = abc\).
\(= 8 \cdot \frac{abc}{abc}\);
\(= 8 \cdot 1\);
\(= 8\);

Таким образом, мы получили:
\((a^2 + \frac{1}{bc})(b^2 + \frac{1}{ca})(c^2 + \frac{1}{ab}) \ge 8\);

Неравенство доказано. Равенство достигается, когда \(a^2 = \frac{1}{bc}\), \(b^2 = \frac{1}{ca}\), \(c^2 = \frac{1}{ab}\). Это эквивалентно \(a^2bc = 1\), \(b^2ca = 1\), \(c^2ab = 1\). Перемножая эти условия, получаем \((abc)^4 = 1\). Поскольку \(a, b, c > 0\), то \(abc = 1\). Подставляя \(abc = 1\) обратно в условия равенства, получаем \(a^2 \cdot 1 = 1 \implies a=1\), \(b^2 \cdot 1 = 1 \implies b=1\), \(c^2 \cdot 1 = 1 \implies c=1\). Таким образом, равенство достигается при \(a=b=c=1\).