ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\), то \(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq 3\).

Доказать, что если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\), тогда:
\((a^2 + \frac{1}{bc})(b^2 + \frac{1}{ca})(c^2 + \frac{1}{ab}) \ge 8\);

1) Если \(x > 0\), \(y > 0\), \(z > 0\), тогда:
\(\frac{1}{2} \cdot (x^2 + \frac{1}{yz}) \ge \sqrt{\frac{x^2}{yz}}\);
\(x^2 + \frac{1}{yz} \ge \frac{2x}{\sqrt{yz}}\);

2) В исходном неравенстве:
\((a^2 + \frac{1}{bc})(b^2 + \frac{1}{ca})(c^2 + \frac{1}{ab}) \ge \frac{2a}{\sqrt{bc}} \cdot \frac{2b}{\sqrt{ca}} \cdot \frac{2c}{\sqrt{ab}}\);
\((a^2 + \frac{1}{bc})(b^2 + \frac{1}{ca})(c^2 + \frac{1}{ab}) \ge 8\);

Неравенство доказано.

Начнем с базового неравенства для положительных чисел \(a>0\), \(b>0\), \(c>0\): утверждается, что \( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3 \). Это следует из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим, примененного к тройке положительных чисел \( \frac{a}{b},\,\frac{b}{c},\,\frac{c}{a} \). По определению, среднее арифметическое не меньше среднего геометрического, то есть \( \frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}{3}\ge \sqrt[3]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}} \). Заметим, что произведение дробей в правой части телескопируется: \( \frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}=1 \), потому правая часть равна \( 1 \). Умножая обе стороны на \( 3 \), получаем искомое \( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3 \). Равенство достигается тогда и только тогда, когда все три числа равны между собой, то есть когда \( \frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=1 \), что эквивалентно \( a=b=c \). Этот критерий равенства напрямую вытекает из условия равенства в неравенстве AM–GM, которое требует равенства всех аргументов.

Теперь подробно разберем усиленное неравенство \( \left(a^{2}+\frac{1}{bc}\right)\left(b^{2}+\frac{1}{ca}\right)\left(c^{2}+\frac{1}{ab}\right)\ge 8 \) при \( a,b,c>0 \). Ключевая идея состоит в поэлементном применении неравенства AM–GM к каждой скобке, рассматривая внутри неё пару положительных чисел \( a^{2} \) и \( \frac{1}{bc} \). Для любых положительных \(x,y,z\) верно \( \frac{x^{2}+\frac{1}{yz}}{2}\ge \sqrt{x^{2}\cdot\frac{1}{yz}}=\frac{x}{\sqrt{yz}} \), так как среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше их среднего геометрического. Подставляя последовательно \( (x,y,z)=(a,b,c) \), затем \( (x,y,z)=(b,c,a) \), затем \( (x,y,z)=(c,a,b) \), получаем три неравенства: \( \frac{a^{2}+\frac{1}{bc}}{2}\ge \frac{a}{\sqrt{bc}} \), \( \frac{b^{2}+\frac{1}{ca}}{2}\ge \frac{b}{\sqrt{ca}} \), \( \frac{c^{2}+\frac{1}{ab}}{2}\ge \frac{c}{\sqrt{ab}} \). Все три оценки корректны, потому что \(a,b,c>0\), следовательно, корни и дроби определены, и неравенства AM–GM применимы.

Перемножим эти три неравенства, чтобы связать их в единую оценку произведения интересующих скобок. Левая часть дает \( \frac{1}{8}\left(a^{2}+\frac{1}{bc}\right)\left(b^{2}+\frac{1}{ca}\right)\left(c^{2}+\frac{1}{ab}\right) \), поскольку множители \( \frac{1}{2} \) перемножаются в \( \frac{1}{8} \). Правая часть при перемножении дает \( \frac{a}{\sqrt{bc}}\cdot\frac{b}{\sqrt{ca}}\cdot\frac{c}{\sqrt{ab}} \). Упростим правую часть: числитель равен \( abc \), а знаменатель равен \( \sqrt{bc}\cdot\sqrt{ca}\cdot\sqrt{ab}=\sqrt{(bc)\cdot(ca)\cdot(ab)}=\sqrt{a^{2}b^{2}c^{2}}=abc \), поскольку числа положительны и корень из квадрата положительного произведения даёт само произведение. Следовательно, правая часть равна \( 1 \). Итого получаем \( \frac{1}{8}\left(a^{2}+\frac{1}{bc}\right)\left(b^{2}+\frac{1}{ca}\right)\left(c^{2}+\frac{1}{ab}\right)\ge 1 \), умножая на \( 8 \), заключаем \( \left(a^{2}+\frac{1}{bc}\right)\left(b^{2}+\frac{1}{ca}\right)\left(c^{2}+\frac{1}{ab}\right)\ge 8 \). Условие равенства в каждой из трёх применений AM–GM требует \( a^{2}=\frac{1}{bc} \), \( b^{2}=\frac{1}{ca} \), \( c^{2}=\frac{1}{ab} \). Перемножив их, получаем \( a^{2}b^{2}c^{2}=\frac{1}{abc} \), то есть \( (abc)^{3}=1 \) и при положительности \( abc=1 \). Совместив это с любым из равенств, например \( a^{2}=\frac{1}{bc} \), выводим \( a^{2}=a \), откуда \( a=1 \), аналогично \( b=1 \), \( c=1 \). Следовательно, равенство достигается именно при \( a=b=c=1 \).

Полезно понять связь усиленного неравенства с базовой суммой. Рассмотрим нормировку \( abc=1 \). При такой нормировке имеем равенства \( \frac{1}{bc}=a \), \( \frac{1}{ca}=b \), \( \frac{1}{ab}=c \), и укрепленное неравенство принимает вид \( (a^{2}+a)(b^{2}+b)(c^{2}+c)\ge 8 \). Каждая скобка можно оценить снизу с помощью AM–GM в форме \( a^{2}+a\ge 2a \), \( b^{2}+b\ge 2b \), \( c^{2}+c\ge 2c \). Перемножая, получаем \( (a^{2}+a)(b^{2}+b)(c^{2}+c)\ge 8abc=8 \), что совпадает с предыдущим результатом и согласуется с точным условием равенства \( a=b=c=1 \). С другой стороны, из нормировки \( abc=1 \) классическое неравенство \( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3 \) можно понимать как следствие AM–GM для тройки \( \frac{a}{b}, \frac{b}{c}, \frac{c}{a} \), где произведение равно \( 1 \), а, следовательно, среднее геометрическое равно \( 1 \). Таким образом, обе оценки согласованы: произведение трех двучленов дает глобальную нижнюю границу \( 8 \), а сумма трех отношений дает нижнюю границу \( 3 \), и обе достигаются при равенстве параметров.