ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.61 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \(\sqrt{(a + b — 1)^2 + 2c^2} + \sqrt{(b + c — 1)^2 + 2a^2} + \sqrt{(c + a — 1)^2 + 2b^2} > 3\).

Доказать неравенство:
\( \sqrt{(a + b — 1)^2 + 2c^2} + \sqrt{(b + c — 1)^2 + 2a^2} + \sqrt{(c + a — 1)^2 + 2b^2} \ge \sqrt{3} \);
\( \sqrt{\frac{(1-a-b)^2+c^2+c^2}{3}} + \sqrt{\frac{(1-b-c)^2+a^2+a^2}{3}} + \sqrt{\frac{(1-a-c)^2+b^2+b^2}{3}} \ge 1 \);

Пусть левая часть неравенства равна \(S\), тогда:
\( S \ge \frac{(1-a-b)+c+c}{3} + \frac{(1-b-c)+a+a}{3} + \frac{(1-a-c)+b+b}{3} \);
\( S \ge \frac{3-2a+2a-2b+2b-2c+2c}{3} = \frac{3}{3} = 1 \);

Неравенство доказано.

Доказать неравенство:
\( \sqrt{(a + b — 1)^2 + 2c^2} + \sqrt{(b + c — 1)^2 + 2a^2} + \sqrt{(c + a — 1)^2 + 2b^2} \ge \sqrt{3} \);
\( \sqrt{\frac{(1-a-b)^2+c^2+c^2}{3}} + \sqrt{\frac{(1-b-c)^2+a^2+a^2}{3}} + \sqrt{\frac{(1-a-c)^2+b^2+b^2}{3}} \ge 1 \);

1. Пусть левая часть второго неравенства обозначена как \(S\). Мы хотим доказать, что \(S \ge 1\).
\( S = \sqrt{\frac{(1-a-b)^2+c^2+c^2}{3}} + \sqrt{\frac{(1-b-c)^2+a^2+a^2}{3}} + \sqrt{\frac{(1-a-c)^2+b^2+b^2}{3}} \).

2. Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством между средним квадратичным (Root Mean Square, RMS) и средним арифметическим (Arithmetic Mean, AM). Для любых действительных чисел \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) справедливо неравенство:
\( \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}{n}} \ge \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} \).
Применим это неравенство к каждому слагаемому в выражении для \(S\).

3. Рассмотрим первое слагаемое: \( \sqrt{\frac{(1-a-b)^2+c^2+c^2}{3}} \).
Здесь \(n=3\), а числами являются \(x_1 = (1-a-b)\), \(x_2 = c\), \(x_3 = c\).
Применяя неравенство RMS-AM, получаем:
\( \sqrt{\frac{(1-a-b)^2+c^2+c^2}{3}} \ge \frac{(1-a-b)+c+c}{3} \).

4. Рассмотрим второе слагаемое: \( \sqrt{\frac{(1-b-c)^2+a^2+a^2}{3}} \).
Здесь \(n=3\), а числами являются \(x_1 = (1-b-c)\), \(x_2 = a\), \(x_3 = a\).
Применяя неравенство RMS-AM, получаем:
\( \sqrt{\frac{(1-b-c)^2+a^2+a^2}{3}} \ge \frac{(1-b-c)+a+a}{3} \).

5. Рассмотрим третье слагаемое: \( \sqrt{\frac{(1-a-c)^2+b^2+b^2}{3}} \).
Здесь \(n=3\), а числами являются \(x_1 = (1-a-c)\), \(x_2 = b\), \(x_3 = b\).
Применяя неравенство RMS-AM, получаем:
\( \sqrt{\frac{(1-a-c)^2+b^2+b^2}{3}} \ge \frac{(1-a-c)+b+b}{3} \).

6. Теперь сложим все три полученных неравенства. Сумма левых частей будет равна \(S\), а сумма правых частей будет представлять собой сумму трех дробей с общим знаменателем \(3\):
\( S \ge \frac{(1-a-b)+c+c}{3} + \frac{(1-b-c)+a+a}{3} + \frac{(1-a-c)+b+b}{3} \).

7. Объединим все члены в числителе одной дроби, так как знаменатели одинаковы:
\( S \ge \frac{(1-a-b+c+c) + (1-b-c+a+a) + (1-a-c+b+b)}{3} \).

8. Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены в числителе:
\( S \ge \frac{1-a-b+2c + 1-b-c+2a + 1-a-c+2b}{3} \).
Соберем константы: \(1+1+1 = 3\).
Соберем члены с \(a\): \(-a + 2a — a = 0\).
Соберем члены с \(b\): \(-b — b + 2b = 0\).
Соберем члены с \(c\): \(2c — c — c = 0\).
Таким образом, числитель упрощается до \(3\).

9. Подставим упрощенный числитель обратно в неравенство:
\( S \ge \frac{3}{3} \).

10. Вычислим значение дроби:
\( S \ge 1 \).
Таким образом, мы доказали, что левая часть неравенства больше или равна \(1\).

Неравенство доказано.