ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.62 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На сторонах \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\) квадрата \(ABCD\) соответственно отметили точки \(M\), \(N\), \(P\) и \(Q\). Докажите, что периметр четырёхугольника \(MNPQ\) не меньше суммы диагоналей квадрата.

Дано: \(ABCD\) — квадрат, \(M \in AB\), \(N \in BC\), \(P \in CD\), \(Q \in DA\);
Доказать: \(P_{MNPQ} \ge AC + BD\);

1) Пусть сторона квадрата равна единице, тогда:

2) Сумма длин диагоналей:
\(AC + BD = \sqrt{1^2 + 1^2} + \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}\);

3) Требуется доказать неравенство:
\(\sqrt{x^2 + (1 — y)^2} + \sqrt{y^2 + (1 — z)^2} +\)
\(+ \sqrt{z^2 + (1 — t)^2} + \sqrt{t^2 + (1 — x)^2} \ge 2\sqrt{2}\);
\(\sqrt{\frac{x^2 + (1 — y)^2}{2}} + \sqrt{\frac{y^2 + (1 — z)^2}{2}} + \sqrt{\frac{z^2 + (1 — t)^2}{2}} + \sqrt{\frac{t^2 + (1 — x)^2}{2}} \ge 2\);

4) Пусть левая часть неравенства равна \(S\), тогда:
\(S \ge \frac{x + (1-y)}{2} + \frac{y + (1-z)}{2} + \frac{z + (1-t)}{2} + \frac{t + (1-x)}{2} = \frac{4}{2} = 2\);
Что и требовалось доказать.

Дано: \(ABCD\) — квадрат, \(M \in AB\), \(N \in BC\), \(P \in CD\), \(Q \in DA\);
Доказать: \(P_{MNPQ} \ge AC + BD\);

1) Пусть сторона квадрата равна единице, тогда:
Точки \(M, N, P, Q\) делят стороны квадрата на отрезки, длины которых обозначены как \(x, 1-x, y, 1-y, z, 1-z, t, 1-t\).
Длины сторон четырехугольника \(MNPQ\) могут быть выражены по теореме Пифагора. Например, если \(M\) находится на расстоянии \(x\) от вершины \(A\) и \(Q\) на расстоянии \(1-t\) от вершины \(A\), то длина отрезка \(QM\) будет \(\sqrt{x^2 + (1-t)^2}\). Аналогично для других сторон.

2) Сумма длин диагоналей:
Для квадрата со стороной, равной единице, длина диагонали находится по теореме Пифагора: \(\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\).
Так как в квадрате две диагонали равны, сумма их длин:
\(AC + BD = \sqrt{1^2 + 1^2} + \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}\).

3) Требуется доказать неравенство:
Периметр четырехугольника \(MNPQ\) равен сумме длин его сторон:
\(P_{MNPQ} = \sqrt{x^2 + (1 — y)^2} + \sqrt{y^2 + (1-z)^2} + \sqrt{z^2 + (1-t)^2} +\)
\(+ \sqrt{t^2+(1-x)^2}\).
Нам нужно доказать, что:
\(\sqrt{x^2 + (1 — y)^2} + \sqrt{y^2 + (1-z)^2} + \sqrt{z^2 + (1-t)^2} +\)
\(+ \sqrt{t^2+(1-x)^2} \ge 2\sqrt{2}\).
Для доказательства воспользуемся неравенством \(\sqrt{a^2 + b^2} \ge \frac{a+b}{\sqrt{2}}\), которое следует из \((a-b)^2 \ge 0 \Rightarrow a^2 — 2ab + b^2 \ge 0 \Rightarrow 2a^2 + 2b^2 \ge a^2 + 2ab + b^2 \Rightarrow 2(a^2+\)
\(+b^2) \ge (a+b)^2 \Rightarrow \sqrt{2(a^2+b^2)} \ge a+b \Rightarrow \sqrt{a^2+b^2} \ge \frac{a+b}{\sqrt{2}}\).
Применяя это неравенство к каждому слагаемому:
\(\sqrt{x^2 + (1 — y)^2} \ge \frac{x + (1 — y)}{\sqrt{2}}\)
\(\sqrt{y^2 + (1 — z)^2} \ge \frac{y + (1 — z)}{\sqrt{2}}\)
\(\sqrt{z^2 + (1 — t)^2} \ge \frac{z + (1 — t)}{\sqrt{2}}\)
\(\sqrt{t^2 + (1 — x)^2} \ge \frac{t + (1 — x)}{\sqrt{2}}\)
Суммируя эти неравенства, получаем:
\(P_{MNPQ} \ge \frac{x + (1 — y) + y + (1 — z) + z + (1 — t) + t + (1 — x)}{\sqrt{2}}\)
\(P_{MNPQ} \ge \frac{x + 1 — y + y + 1 — z + z + 1 — t + t + 1 — x}{\sqrt{2}}\)
\(P_{MNPQ} \ge \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\).
Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему:
\(\frac{\sqrt{x^2+(1-y)^2}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{y^2+(1-z)^2}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{z^2+(1-t)^2}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{t^2+(1-x)^2}}{\sqrt{2}} \ge 2\),
что можно записать как:
\(\sqrt{\frac{x^2+(1-y)^2}{2}} + \sqrt{\frac{y^2+(1-z)^2}{2}} + \sqrt{\frac{z^2+(1-t)^2}{2}} + \sqrt{\frac{t^2+(1-x)^2}{2}} \ge 2\).

4) Пусть левая часть неравенства равна \(S\), тогда:
Мы используем неравенство \(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \ge \frac{a+b}{2}\), которое является частным случаем неравенства между средним квадратичным и средним арифметическим, или следует из \((a-b)^2 \ge 0\).
Применяя это неравенство к каждому члену суммы \(S\):
\(\sqrt{\frac{x^2+(1-y)^2}{2}} \ge \frac{x+(1-y)}{2}\)
\(\sqrt{\frac{y^2+(1-z)^2}{2}} \ge \frac{y+(1-z)}{2}\)
\(\sqrt{\frac{z^2+(1-t)^2}{2}} \ge \frac{z+(1-t)}{2}\)
\(\sqrt{\frac{t^2+(1-x)^2}{2}} \ge \frac{t+(1-x)}{2}\)
Суммируя эти неравенства, получаем:
\(S \ge \frac{x+(1-y)}{2} + \frac{y+(1-z)}{2} + \frac{z+(1-t)}{2} + \frac{t+(1-x)}{2}\).
Объединяя члены в числителе:
\(S \ge \frac{x + 1 — y + y + 1 — z + z + 1 — t + t + 1 — x}{2}\).
Сокращая переменные:
\(S \ge \frac{1 + 1 + 1 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2\).
Таким образом, мы доказали, что \(S \ge 2\), что эквивалентно \(P_{MNPQ} \ge 2\sqrt{2}\).

Что и требовалось доказать.