ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.63 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\) и \(a + b + c = 1\), то \((1 + a)(1 + b)(1 + c) \geq 8(1 — a)(1 — b)(1 — c)\).

Доказать, что если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\) и \(a + b + c = 1\), тогда:
\((1+a)(1+b)(1+c) \geq 8(1-a)(1-b)(1-c)\);

1) Пусть \(x > 0\), \(y > 0\), \(z > 0\) и \(x + y + z = 1\), тогда:
\(\frac{(1-x)+(1-y)}{2} \geq \sqrt{(1-x)(1-y)}\);
\(1+(1-x-y) \geq 2\sqrt{(1-x)(1-y)}\);
\(1+z \geq 2\sqrt{(1-x)(1-y)}\);

2) В исходном неравенстве:
\((1+a)(1+b)(1+c) \geq 2\sqrt{(1-b)(1-c)} \cdot 2\sqrt{(1-a)(1-c)}\)
\( \cdot 2\sqrt{(1-a)(1-b)}\);
\((1+a)(1+b)(1+c) \geq 8(1-a)(1-b)(1-c)\);

Неравенство доказано.

Доказать, что если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\) и \(a + b + c = 1\), тогда:
\((1+a)(1+b)(1+c) \geq 8(1-a)(1-b)(1-c)\).

1) Пусть \(x > 0\), \(y > 0\), \(z > 0\) и \(x + y + z = 1\), тогда, согласно неравенству о средних (среднее арифметическое не меньше среднего геометрического) для чисел \((1-x)\) и \((1-y)\):
\(\frac{(1-x)+(1-y)}{2} \geq \sqrt{(1-x)(1-y)}\).
Умножим обе части неравенства на 2:
\((1-x)+(1-y) \geq 2\sqrt{(1-x)(1-y)}\).
Перегруппируем слагаемые в левой части:
\(1 + (1-x-y) \geq 2\sqrt{(1-x)(1-y)}\).
Поскольку \(x+y+z=1\), то \(1-x-y\) равно \(z\). Подставим это значение:
\(1+z \geq 2\sqrt{(1-x)(1-y)}\).
Это ключевое вспомогательное неравенство.

2) В исходном неравенстве \((1+a)(1+b)(1+c) \geq 8(1-a)(1-b)(1-c)\) применим вспомогательное неравенство \(1+z \geq 2\sqrt{(1-x)(1-y)}\) трижды, подставляя вместо \(x, y, z\) соответствующие переменные из условия \(a+b+c=1\).
Для множителя \((1+a)\): пусть \(z=a\), тогда \(x=b\) и \(y=c\). Получаем:
\(1+a \geq 2\sqrt{(1-b)(1-c)}\).
Для множителя \((1+b)\): пусть \(z=b\), тогда \(x=a\) и \(y=c\). Получаем:
\(1+b \geq 2\sqrt{(1-a)(1-c)}\).
Для множителя \((1+c)\): пусть \(z=c\), тогда \(x=a\) и \(y=b\). Получаем:
\(1+c \geq 2\sqrt{(1-a)(1-b)}\).
Перемножим левые и правые части этих трех неравенств. Поскольку все стороны положительны (так как \(a,b,c > 0\) и \(a+b+c=1\), то \(a,b,c < 1\), следовательно \(1-a, 1-b, 1-c\) также положительны), знак неравенства сохранится: \((1+a)(1+b)(1+c) \geq 2\sqrt{(1-b)(1-c)} \cdot 2\sqrt{(1-a)(1-c)}\) \( \cdot 2\sqrt{(1-a)(1-b)}\). Упростим правую часть: \((1+a)(1+b)(1+c) \geq 8 \sqrt{(1-b)(1-c)(1-a)(1-c)(1-a)(1-b)}\). Объединим одинаковые множители под корнем: \((1+a)(1+b)(1+c) \geq 8 \sqrt{(1-a)^2 (1-b)^2 (1-c)^2}\). Извлечем квадратный корень: \((1+a)(1+b)(1+c) \geq 8 |(1-a)(1-b)(1-c)|\). Так как \(a, b, c > 0\) и \(a+b+c=1\), то \(a, b, c\) должны быть меньше 1. Следовательно, \((1-a)\), \((1-b)\), \((1-c)\) положительны, и модуль можно опустить:
\((1+a)(1+b)(1+c) \geq 8(1-a)(1-b)(1-c)\).

Неравенство доказано.