ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.64 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \(x > 0\), \(y > 0\), \(z > 0\). Докажите неравенство \(\frac{x^2}{y + z} + \frac{y^2}{z + x} + \frac{z^2}{x + y} \geq \frac{1}{5}(x + y + z)^2\).

Доказать, что если \(x > 0, y > 0, z > 0\), тогда:
\(\frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{z+x} + \frac{z^2}{x+y} \ge \frac{1}{2}(x+y+z)\);

По неравенству Коши-Буняковского:
\(\left(\frac{x}{\sqrt{y+z}}\sqrt{y+z} + \frac{y}{\sqrt{x+z}}\sqrt{x+z} + \frac{z}{\sqrt{x+y}}\sqrt{x+y}\right)^2 = (x+y+z)^2\);

\((x+y+z)^2 \le \left(\frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{x+z} + \frac{z^2}{x+y}\right)((y+z) + (x+z) + (x+y))\);

\((x+y+z)^2 \le \left(\frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{x+z} + \frac{z^2}{x+y}\right) \cdot 2(x+y+z)\);

\(\frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{z+x} + \frac{z^2}{x+y} \ge \frac{1}{2}(x+y+z)\);

Неравенство доказано.

Доказать, что если \(x > 0, y > 0, z > 0\), тогда:
\(\frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{z+x} + \frac{z^2}{x+y} \ge \frac{1}{2}(x+y+z)\);

По неравенству Коши-Буняковского:
Неравенство Коши-Буняковского для действительных чисел гласит, что для любых двух наборов действительных чисел \((a_1, a_2, \dots, a_n)\) и \((b_1, b_2, \dots, b_n)\) выполняется \(\left(\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\right)^2 \le \left(\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n} b_i^2\right)\).
Применим это неравенство к следующим наборам:
Пусть \(a_1 = \frac{x}{\sqrt{y+z}}\), \(a_2 = \frac{y}{\sqrt{x+z}}\), \(a_3 = \frac{z}{\sqrt{x+y}}\).
Пусть \(b_1 = \sqrt{y+z}\), \(b_2 = \sqrt{x+z}\), \(b_3 = \sqrt{x+y}\).
Тогда сумма произведений \(a_i b_i\) будет:
\(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = \frac{x}{\sqrt{y+z}}\sqrt{y+z} + \frac{y}{\sqrt{x+z}}\sqrt{x+z} + \frac{z}{\sqrt{x+y}}\sqrt{x+y} =\)
\(= x + y + z\).
Возведя эту сумму в квадрат, получаем левую часть неравенства Коши-Буняковского:
\(\left(\frac{x}{\sqrt{y+z}}\sqrt{y+z} + \frac{y}{\sqrt{x+z}}\sqrt{x+z} + \frac{z}{\sqrt{x+y}}\sqrt{x+y}\right)^2 = (x+y+z)^2\).

Теперь вычислим суммы квадратов \(a_i^2\) и \(b_i^2\):
\(\sum_{i=1}^{3} a_i^2 = \left(\frac{x}{\sqrt{y+z}}\right)^2 + \left(\frac{y}{\sqrt{x+z}}\right)^2 + \left(\frac{z}{\sqrt{x+y}}\right)^2 = \frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{x+z} + \frac{z^2}{x+y}\).
\(\sum_{i=1}^{3} b_i^2 = (\sqrt{y+z})^2 + (\sqrt{x+z})^2 + (\sqrt{x+y})^2 =\)
\(= (y+z) + (x+z) + (x+y)\).

Подставим эти выражения в неравенство Коши-Буняковского:
\((x+y+z)^2 \le \left(\frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{x+z} + \frac{z^2}{x+y}\right)((y+z) + (x+z) + (x+y))\).

Упростим выражение вторых скобок:
\((y+z) + (x+z) + (x+y) = y+z+x+z+x+y = 2x+2y+2z =\)
\(= 2(x+y+z)\).
Теперь подставим это упрощенное выражение обратно в неравенство:
\((x+y+z)^2 \le \left(\frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{x+z} + \frac{z^2}{x+y}\right) \cdot 2(x+y+z)\).

Поскольку \(x > 0, y > 0, z > 0\), то \(x+y+z > 0\). Следовательно, \(2(x+y+z) > 0\). Мы можем разделить обе стороны неравенства на \(2(x+y+z)\) без изменения знака неравенства:
\(\frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)} \le \frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{x+z} + \frac{z^2}{x+y}\).
Сократим \((x+y+z)\) в левой части:
\(\frac{x+y+z}{2} \le \frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{x+z} + \frac{z^2}{x+y}\).
Перепишем неравенство, чтобы оно соответствовало исходной формулировке:
\(\frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{z+x} + \frac{z^2}{x+y} \ge \frac{1}{2}(x+y+z)\).

Неравенство доказано.