ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.65 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\), \(d > 0\), то \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{c} + \frac{16}{d} \geq 64 \cdot \frac{1}{a + b + c + d}\).

Доказать, что если \(a > 0, b > 0, c > 0, d > 0\), тогда:
\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{c} + \frac{16}{d} \ge \frac{64}{a+b+c+d}\)

1) Пусть \(x > 0\) и \(y > 0\), тогда:
\(\frac{x+y}{2} \ge \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}\)
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{2 \cdot 2}{x+y}\)
\(\frac{k}{x} + \frac{k}{y} \ge \frac{4k}{x+y}\), \(k > 0\);

2) В исходном неравенстве:
\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{c} + \frac{16}{d} \ge \frac{4}{a+b} + \frac{16}{c+d} \ge \frac{16}{a+b+c+d} \ge \frac{64}{a+b+c+d}\)
Неравенство доказано.

Доказать, что если \(a > 0, b > 0, c > 0, d > 0\), тогда:
\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{c} + \frac{16}{d} \ge \frac{64}{a+b+c+d}\)

1) Для доказательства данного неравенства мы будем использовать частный случай неравенства Коши-Буняковского-Шварца, известный как лемма Титу (или форма Энгеля). Эта лемма утверждает, что для любых положительных действительных чисел \(x_1, x_2, \dots, x_n\) и \(a_1, a_2, \dots, a_n\) выполняется следующее неравенство: \(\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^2}{a_i} \ge \frac{(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2}{\sum_{i=1}^{n} a_i}\). В частности, для двух положительных чисел \(x\) и \(y\), если мы возьмем \(x_1 = 1, x_2 = 1, a_1 = x, a_2 = y\), то получим \(\frac{1^2}{x} + \frac{1^2}{y} \ge \frac{(1+1)^2}{x+y}\), что упрощается до \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{x+y}\). Это неравенство является фундаментальным шагом в нашем доказательстве, поскольку оно позволяет «объединять» дроби с разными знаменателями, сохраняя при этом знак неравенства.

2) Применим вышеуказанную лемму последовательно к членам исходного неравенства. Сначала рассмотрим первые два члена: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\). Используя лемму Титу с \(x_1=1, x_2=1, a_1=a, a_2=b\), мы получаем, что \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{(1+1)^2}{a+b} = \frac{4}{a+b}\). Далее, рассмотрим следующие два члена: \(\frac{4}{c} + \frac{16}{d}\). Эти члены можно переписать как \(\frac{2^2}{c} + \frac{4^2}{d}\). Применяя ту же лемму Титу с \(x_1=2, x_2=4, a_1=c, a_2=d\), мы получаем, что \(\frac{2^2}{c} + \frac{4^2}{d} \ge \frac{(2+4)^2}{c+d} = \frac{6^2}{c+d} = \frac{36}{c+d}\). Таким образом, исходное неравенство можно преобразовать в: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{c} + \frac{16}{d} \ge \frac{4}{a+b} + \frac{36}{c+d}\).

Теперь, когда мы свели задачу к сумме двух дробей, мы можем применить лемму Титу еще раз. Рассмотрим выражение \(\frac{4}{a+b} + \frac{36}{c+d}\). Его можно записать как \(\frac{2^2}{a+b} + \frac{6^2}{c+d}\). Применяя лемму Титу в третий раз, с \(x_1=2, x_2=6, a_1=a+b, a_2=c+d\), мы получаем: \(\frac{2^2}{a+b} + \frac{6^2}{c+d} \ge \frac{(2+6)^2}{(a+b)+(c+d)} = \frac{8^2}{a+b+c+d} = \frac{64}{a+b+c+d}\). Объединяя все шаги, мы окончательно доказываем исходное неравенство: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{c} + \frac{16}{d} \ge \frac{4}{a+b} + \frac{36}{c+d} \ge \frac{64}{a+b+c+d}\). Таким образом, неравенство доказано.