ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.67 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \(a\) уравнение \((\sqrt{x} — a)(4x — 9) = 0\) имеет единственное решение?

При каких значениях \(a\) уравнение имеет единственное решение:
\((\sqrt{x}-a)(4x-9) = 0\);

1) Первое уравнение:
\(\sqrt{x} — a = 0\);
\(\sqrt{x} = a\);
\(x = a^2\), \(a > 0\);

2) Второе уравнение:
\(4x-9 = 0\);
\(4x = 9\);
\(x = \frac{9}{4}\);

3) Решения совпадают:
\(a^2 = \frac{9}{4}\);
\(a = \frac{3}{2} = 1,5\);

Ответ: \(a < 0\) или \(a = 1,5\).

При каких значениях \(a\) уравнение имеет единственное решение:
\((\sqrt{x}-a)(4x-9) = 0\);

1) Рассмотрим первое уравнение:
\(\sqrt{x} — a = 0\)
\(\sqrt{x} = a\)

Для того чтобы \(\sqrt{x}\) было определено, необходимо, чтобы \(x \ge 0\). Также, поскольку \(\sqrt{x}\) по определению является неотрицательным числом, то \(a\) должно быть неотрицательным, то есть \(a \ge 0\).
Если \(a < 0\), то уравнение \(\sqrt{x} = a\) не имеет решений, так как квадратный корень не может быть отрицательным. Если \(a = 0\), то \(\sqrt{x} = 0\), что приводит к \(x = 0\). Если \(a > 0\), то возводим обе части уравнения в квадрат: \((\sqrt{x})^2 = a^2\), что дает \(x = a^2\). Это решение допустимо, так как \(a^2 \ge 0\).

Таким образом, для первого уравнения:
— Если \(a < 0\), решений для \(x\) нет. - Если \(a = 0\), то \(x = 0\). - Если \(a > 0\), то \(x = a^2\).

2) Рассмотрим второе уравнение:
\(4x — 9 = 0\)
\(4x = 9\)
\(x = \frac{9}{4}\)

Это решение \(x = \frac{9}{4}\) является постоянным и не зависит от параметра \(a\). Также, \(x = \frac{9}{4} \ge 0\), что удовлетворяет условию существования \(\sqrt{x}\).

3) Определим условия, при которых уравнение имеет единственное решение:

Уравнение \((\sqrt{x}-a)(4x-9) = 0\) имеет единственное решение в двух случаях:

Случай I: Первое уравнение не имеет решений, а второе уравнение имеет одно решение.
Это происходит, когда \(a < 0\). В этом случае, из \(\sqrt{x} = a\) нет решений. Единственное решение всего уравнения тогда исходит из \(4x - 9 = 0\), что дает \(x = \frac{9}{4}\). Следовательно, при \(a < 0\) уравнение имеет единственное решение \(x = \frac{9}{4}\). Случай II: Оба уравнения имеют решения, и эти решения совпадают. Это происходит, когда \(a \ge 0\). Решение из второго уравнения: \(x = \frac{9}{4}\). Решение из первого уравнения: - Если \(a = 0\), то \(x = 0\). В этом случае \(0 \neq \frac{9}{4}\), поэтому будет два различных решения (\(x=0\) и \(x=\frac{9}{4}\)), что не подходит для единственного решения. - Если \(a > 0\), то \(x = a^2\).
Для совпадения решений, мы должны приравнять \(a^2\) к \(\frac{9}{4}\):
\(a^2 = \frac{9}{4}\)
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем: \(a = \pm\sqrt{\frac{9}{4}}\)
\(a = \pm\frac{3}{2}\)
\(a = \pm 1.5\)

Поскольку мы рассматриваем случай, когда \(a > 0\), выбираем \(a = 1.5\).
При \(a = 1.5\), решение из первого уравнения \(x = (1.5)^2 = 2.25 = \frac{9}{4}\).
Решение из второго уравнения также \(x = \frac{9}{4}\).
Таким образом, при \(a = 1.5\) оба множителя приводят к одному и тому же решению \(x = \frac{9}{4}\), и уравнение имеет единственное решение.

Объединяя Случай I и Случай II, получаем, что уравнение имеет единственное решение при \(a < 0\) или \(a = 1.5\). Ответ: \(a < 0\) или \(a = 1.5\).