ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.68 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном значении \(n\) дробь \(\frac{12n + 1}{30n + 2}\) является несократимой.

Доказать, что при любом \(n \in N\) дробь является несократимой: \(\frac{12n + 1}{30n + 2}\)
1) Для любых натуральных чисел \(a\) и \(b\) таких, что \(a > b\), верно: НОД(\(a\); \(b\)) = НОД(\(a — b\); \(b\));
2) Знаменатель и числитель — взаимно простые числа: НОД(\(30n + 2\); \(12n + 1\)) = НОД(\(18n + 1\); \(12n + 1\)) = НОД(\(6n\); \(12n + 1\)) = НОД(\(6n\); \(6n + 1\)) = НОД(\(6n\); \(1\)) = \(1\);
Что и требовалось доказать.

1) Для любых натуральных чисел \(a\) и \(b\) таких, что \(a > b\), верно: НОД(\(a\); \(b\)) = НОД(\(a — b\); \(b\)).
Эта формула является одним из ключевых свойств наибольшего общего делителя (НОД) и лежит в основе алгоритма Евклида. Она утверждает, что наибольший общий делитель двух чисел \(a\) и \(b\) равен наибольшему общему делителю их разности (\(a — b\)) и меньшего из чисел (\(b\)). Это свойство позволяет последовательно уменьшать числа, для которых ищется НОД, что упрощает вычисления.

2) Знаменатель и числитель — взаимно простые числа: НОД(\(30n + 2\); \(12n + 1\)) = НОД(\(18n + 1\); \(12n + 1\)) = НОД(\(6n\); \(12n + 1\)) = НОД(\(6n\); \(6n + 1\)) = НОД(\(6n\); \(1\)) = \(1\).
Для доказательства того, что дробь \(\frac{12n + 1}{30n + 2}\) является несократимой, необходимо показать, что наибольший общий делитель (НОД) ее числителя и знаменателя равен \(1\). Если НОД(\(A\), \(B\)) = \(1\), то числа \(A\) и \(B\) называются взаимно простыми, и дробь \(\frac{A}{B}\) не может быть сокращена.

Применим свойство из пункта 1 последовательно:
Пусть \(a = 30n + 2\) и \(b = 12n + 1\).
Первое применение свойства:
НОД(\(30n + 2\); \(12n + 1\)) = НОД(\((30n + 2) — (12n + 1)\); \(12n + 1\)) = НОД(\(18n + 1\); \(12n + 1\)).

Второе применение свойства:
Теперь пусть \(a = 18n + 1\) и \(b = 12n + 1\).
НОД(\(18n + 1\); \(12n + 1\)) = НОД(\((18n + 1) — (12n + 1)\); \(12n + 1\)) = НОД(\(6n\); \(12n + 1\)).

Третье применение свойства:
Теперь пусть \(a = 12n + 1\) и \(b = 6n\). Мы можем вычесть \(6n\) из \(12n + 1\) дважды.
НОД(\(6n\); \(12n + 1\)) = НОД(\(6n\); \((12n + 1) — 2 \cdot (6n)\)) = НОД(\(6n\); \(12n + 1 — 12n\)) = НОД(\(6n\); \(1\)).

Завершающий шаг:
Наибольший общий делитель любого целого числа \(X\) и \(1\) всегда равен \(1\).
Следовательно, НОД(\(6n\); \(1\)) = \(1\).

Поскольку наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен \(1\), дробь \(\frac{12n + 1}{30n + 2}\) является несократимой для любого натурального числа \(n\).

Что и требовалось доказать.