ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(x > 0\), \(y > 0\), то \((x + 1)\left(1 + \frac{1}{y}\right)(xy + 1) > 8xy\).

Доказать, что если \(x \ge 0\), \(y \ge 0\), тогда:
\((x+1)(y+1)(xy + 1) \ge 8xy\);

1) Если \(a \ge 0\), тогда:
\(\frac{a+1}{2} \ge \sqrt{a}\);
\(a+1 \ge 2\sqrt{a}\);

2) В исходном неравенстве:
\((x+1)(y+1)(xy+1) \ge 2\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{y} \cdot 2\sqrt{xy}\);
\((x+1)(y+1)(xy+1) \ge 8xy\);

Неравенство доказано.

Доказать, что если \(x \ge 0\), \(y \ge 0\), тогда:
\((x+1)(y+1)(xy + 1) \ge 8xy\);

1) Если \(a \ge 0\), тогда:
Докажем неравенство среднего арифметического и среднего геометрического для двух неотрицательных чисел. Рассмотрим выражение \((\sqrt{a} — 1)^2\). Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, имеем:
\((\sqrt{a} — 1)^2 \ge 0\)
Раскроем скобки:
\((\sqrt{a})^2 — 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 1 + 1^2 \ge 0\)
\(a — 2\sqrt{a} + 1 \ge 0\)
Прибавим \(2\sqrt{a}\) к обеим частям неравенства:
\(a + 1 \ge 2\sqrt{a}\)
Разделим обе части неравенства на 2:
\(\frac{a+1}{2} \ge \sqrt{a}\)
Таким образом, доказано, что для любого \(a \ge 0\), выполняется неравенство \(a+1 \ge 2\sqrt{a}\).

2) В исходном неравенстве:
Применим доказанное неравенство \(a+1 \ge 2\sqrt{a}\) к каждому множителю левой части исходного неравенства \((x+1)(y+1)(xy + 1) \ge 8xy\).
Для первого множителя \((x+1)\), где \(x \ge 0\), применим неравенство, подставив \(a=x\):
\(x+1 \ge 2\sqrt{x}\)

Для второго множителя \((y+1)\), где \(y \ge 0\), применим неравенство, подставив \(a=y\):
\(y+1 \ge 2\sqrt{y}\)

Для третьего множителя \((xy+1)\), где \(x \ge 0\) и \(y \ge 0\), следовательно \(xy \ge 0\), применим неравенство, подставив \(a=xy\):
\(xy+1 \ge 2\sqrt{xy}\)

Поскольку все части неравенств неотрицательны (\(x \ge 0\), \(y \ge 0\)), мы можем перемножить левые и правые части этих трех неравенств:
\((x+1)(y+1)(xy+1) \ge (2\sqrt{x})(2\sqrt{y})(2\sqrt{xy})\)
Упростим правую часть неравенства:
\((2\sqrt{x})(2\sqrt{y})(2\sqrt{xy}) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} \cdot \sqrt{xy}\)
\(= 8 \cdot \sqrt{x \cdot y \cdot xy}\)
\(= 8 \cdot \sqrt{x^2 y^2}\)
Поскольку \(x \ge 0\) и \(y \ge 0\), \(\sqrt{x^2 y^2} = \sqrt{(xy)^2} = xy\).
Таким образом, правая часть упрощается до \(8xy\).

Подставляя это обратно в неравенство, получаем:
\((x+1)(y+1)(xy+1) \ge 8xy\)

Неравенство доказано.