ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \(2a^2 + 4 \geq a^2 + 3\).

Доказать неравенство:
\(\frac{a^2 + 4}{2} \ge \sqrt{a^2 + 3}\);

Согласно неравенству Коши:
\(\frac{(a^2 + 3) + 1}{2} \ge \sqrt{(a^2 + 3) \cdot 1}\);
\(\frac{a^2 + 4}{2} \ge \sqrt{a^2 + 3}\);

Неравенство доказано.

Доказать неравенство:
\(\frac{a^2 + 4}{2} \ge \sqrt{a^2 + 3}\);

Согласно неравенству Коши (неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом для двух неотрицательных чисел \(x\) и \(y\), которое гласит: \(\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}\)):

Рассмотрим два неотрицательных числа: \(x = a^2 + 3\) и \(y = 1\). Поскольку \(a^2 \ge 0\), то \(a^2 + 3 \ge 3\), следовательно, \(a^2 + 3\) является неотрицательным числом. Число \(1\) также является неотрицательным.

Применяем неравенство Коши к этим числам:
\(\frac{(a^2 + 3) + 1}{2} \ge \sqrt{(a^2 + 3) \cdot 1}\);

Упрощаем левую часть неравенства:
\((a^2 + 3) + 1 = a^2 + 4\).
Следовательно, левая часть становится \(\frac{a^2 + 4}{2}\).

Упрощаем правую часть неравенства:
\(\sqrt{(a^2 + 3) \cdot 1} = \sqrt{a^2 + 3}\).

Таким образом, исходное неравенство принимает вид:
\(\frac{a^2 + 4}{2} \ge \sqrt{a^2 + 3}\);

Что и требовалось доказать.