ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \(\frac{12 + 6}{a} \geq 12 + 2\).

Доказать неравенство:
\(\frac{x^2 + 6}{4} \ge \sqrt{x^2 + 2}\)

Согласно неравенству Коши:
\(\frac{(x^2 + 2) + 4}{2} \ge \sqrt{(x^2 + 2) \cdot 4}\)

\(\frac{x^2 + 6}{2} \ge 2\sqrt{x^2 + 2}\)

\(\frac{x^2 + 6}{4} \ge \sqrt{x^2 + 2}\)

Неравенство доказано.

Доказать неравенство:
\(\frac{x^2 + 6}{4} \ge \sqrt{x^2 + 2}\)

1. Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом, также известным как неравенство AM-GM (Arithmetic Mean-Geometric Mean). Это неравенство утверждает, что для любых двух неотрицательных чисел \(a\) и \(b\) их среднее арифметическое всегда больше или равно их среднему геометрическому. Формально это записывается как \(\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\).

2. Рассмотрим выражение \(\sqrt{x^2 + 2}\). Мы можем представить его как среднее геометрическое двух чисел. Для применения неравенства Коши нам необходимо определить эти два числа. В данном случае, если мы возьмем \(a = x^2 + 2\) и \(b = 4\), то оба эти числа являются неотрицательными для любого действительного значения \(x\), поскольку \(x^2 \ge 0\), следовательно, \(x^2 + 2 \ge 2\).

3. Применим неравенство Коши к числам \(a = x^2 + 2\) и \(b = 4\):
\(\frac{(x^2 + 2) + 4}{2} \ge \sqrt{(x^2 + 2) \cdot 4}\)

4. Упростим левую часть неравенства, сложив константы в числителе:
\((x^2 + 2) + 4 = x^2 + 6\)
Таким образом, левая часть становится \(\frac{x^2 + 6}{2}\).

5. Упростим правую часть неравенства. Мы можем извлечь квадратный корень из множителя 4:
\(\sqrt{(x^2 + 2) \cdot 4} = \sqrt{4(x^2 + 2)} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x^2 + 2} = 2\sqrt{x^2 + 2}\).

6. Подставив упрощенные выражения обратно в неравенство, получаем:
\(\frac{x^2 + 6}{2} \ge 2\sqrt{x^2 + 2}\)

7. Чтобы получить исходное неравенство, необходимо разделить обе части текущего неравенства на 2. Поскольку 2 является положительным числом, знак неравенства не изменится:
\(\frac{1}{2} \cdot \frac{x^2 + 6}{2} \ge \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{x^2 + 2}\)
Выполняя умножение, получаем:
\(\frac{x^2 + 6}{4} \ge \sqrt{x^2 + 2}\)

Неравенство доказано.