ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 19.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Функция задана формулой \(f(x) = x^{19}\). Сравните:
1) \(f(1,4)\) и \(f(1,8)\);
2) \(f(-7,6)\) и \(f(-8,5)\);
3) \(f(-6,9)\) и \(f(6,9)\);
4) \(f(0,2)\) и \(f(-12)\).

Функция задана формулой \(f(x) = x^{19}\), сравнить:
1) \(f(1,4)\) и \(f(1,8)\);
Функция \(f(x)\) возрастает на R, значит:
\(1,4 < 1,8\); \(f(1,4) < f(1,8)\); 2) \(f(-7,6)\) и \(f(-8,5)\); Функция \(f(x)\) возрастает на R, значит: \(-7,6 > -8,5\);
\(f(-7,6) > f(-8,5)\);
3) \(f(-6,9)\) и \(f(6,9)\);
Функция \(f(x)\) возрастает на R, значит:
\(-6,9 < 6,9\); \(f(-6,9) < f(6,9)\); 4) \(f(0,2)\) и \(f(-12)\); Функция \(f(x)\) возрастает на R, значит: \(0,2 > -12\);
\(f(0,2) > f(-12)\);

Начнем с анализа заданной функции \(f(x) = x^{19}\). Это степенная функция, где показатель степени, число \(19\), является нечетным и положительным целым числом. Такие функции обладают определенными характеристиками, которые позволяют легко сравнивать их значения. Главное свойство функции \(f(x) = x^{19}\) заключается в том, что она является строго возрастающей на всей числовой прямой, то есть для любого действительного числа \(x \in \mathbb{R}\). Это означает, что если мы возьмем два любых действительных числа \(a\) и \(b\) таких, что \(a < b\), то обязательно будет выполняться неравенство \(f(a) < f(b)\). Это свойство можно подтвердить, например, через анализ производной функции. Производная функции \(f(x) = x^{19}\) равна \(f'(x) = 19x^{18}\). Поскольку \(x^{18}\) всегда неотрицательно для любого действительного \(x\) (и строго положительно для \(x \neq 0\)), а коэффициент \(19\) положителен, то \(f'(x) \ge 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\), и \(f'(x) > 0\) для всех \(x \neq 0\). Таким образом, функция \(f(x)\) строго возрастает на всей своей области определения, что является ключевым моментом для решения всех поставленных задач сравнения значений функции.

1) Сравнение \(f(1,4)\) и \(f(1,8)\).
Для того чтобы сравнить значения функции в точках \(1,4\) и \(1,8\), мы опираемся на ранее установленное свойство функции \(f(x) = x^{19}\) быть строго возрастающей на всей числовой прямой. Первым шагом является сравнение аргументов функции. Мы видим, что \(1,4\) и \(1,8\) являются положительными числами, и очевидно, что \(1,4 < 1,8\). Поскольку функция \(f(x)\) строго возрастает, это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, если \(1,4\) меньше, чем \(1,8\), то значение функции в точке \(1,4\) будет меньше значения функции в точке \(1,8\). Таким образом, мы приходим к выводу, что \(f(1,4) < f(1,8)\). 2) Сравнение \(f(-7,6)\) и \(f(-8,5)\). В этом случае мы имеем дело с отрицательными аргументами: \(-7,6\) и \(-8,5\). Важно правильно сравнить эти числа. На числовой прямой число \(-7,6\) находится правее числа \(-8,5\), что означает, что \(-7,6 > -8,5\). Зная, что функция \(f(x) = x^{19}\) является строго возрастающей на всей области определения, мы применяем то же правило: большему аргументу соответствует большее значение функции. Поскольку \(-7,6\) больше, чем \(-8,5\), то значение функции в точке \(-7,6\) будет больше значения функции в точке \(-8,5\). Таким образом, мы получаем, что \(f(-7,6) > f(-8,5)\).

3) Сравнение \(f(-6,9)\) и \(f(6,9)\).
Здесь мы сравниваем значения функции в точках, которые являются противоположными числами: отрицательное число \(-6,9\) и соответствующее ему положительное число \(6,9\). Очевидно, что любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа. Следовательно, \(-6,9 < 6,9\). Вновь, используя свойство строго возрастающей функции \(f(x) = x^{19}\), мы заключаем, что если аргумент \(-6,9\) меньше аргумента \(6,9\), то и значение функции в точке \(-6,9\) будет меньше значения функции в точке \(6,9\). Таким образом, \(f(-6,9) < f(6,9)\). 4) Сравнение \(f(0,2)\) и \(f(-12)\). В последнем случае нам необходимо сравнить значение функции в точке \(0,2\) (положительное число, близкое к нулю) и в точке \(-12\) (отрицательное число). Как и в предыдущем пункте, любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, \(0,2 > -12\). Применяя свойство строгой монотонности функции \(f(x) = x^{19}\), мы делаем вывод, что если аргумент \(0,2\) больше аргумента \(-12\), то значение функции в точке \(0,2\) будет больше значения функции в точке \(-12\). Таким образом, мы получаем, что \(f(0,2) > f(-12)\).