ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 19.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Существует ли чётная функция \(f\), определённая на \(\mathbb{R}\), удовлетворяющая условиям: \(f(0) = 0\), \(f(-1) = 1\), \(f(2) = 1024\)?

Существует ли четная функция \(f\), удовлетворяющая условиям: \(f(0) = 0\), \(f(-1) = 1\), \(f(2) = 1024\);
1) Значения функции:
\(f(2) = 1024 = 2^{10}\);
\(f(-1) = 1 = (-1)^{10}\);
\(f(0) = 0 = 0^{10}\);
2) Функция \(f(x) = x^{10}\) является четной;
Ответ: да, например \(f(x) = x^{10}\).

Существует ли четная функция \(f\), удовлетворяющая условиям: \(f(0) = 0\), \(f(-1) = 1\), \(f(2) = 1024\);

1) Проверим, удовлетворяет ли функция \(f(x) = x^{10}\) заданным значениям:
* Для условия \(f(2) = 1024\):
Подставим значение \(x = 2\) в предложенную функцию \(f(x) = x^{10}\).
Вычислим \(f(2)\): \(f(2) = 2^{10}\).
Произведем возведение в степень: \(2^{10} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 1024\).
Таким образом, \(f(2) = 1024\), что полностью соответствует первому заданному условию.
* Для условия \(f(-1) = 1\):
Подставим значение \(x = -1\) в предложенную функцию \(f(x) = x^{10}\).
Вычислим \(f(-1)\): \(f(-1) = (-1)^{10}\).
Поскольку показатель степени \(10\) является четным числом, отрицательное основание, возведенное в четную степень, дает положительный результат.
Следовательно, \((-1)^{10} = 1\).
Таким образом, \(f(-1) = 1\), что полностью соответствует второму заданному условию.
* Для условия \(f(0) = 0\):
Подставим значение \(x = 0\) в предложенную функцию \(f(x) = x^{10}\).
Вычислим \(f(0)\): \(f(0) = 0^{10}\).
Любое ненулевое число, возведенное в степень \(0\), равно \(1\), но \(0\), возведенный в любую положительную степень, всегда равен \(0\).
Следовательно, \(0^{10} = 0\).
Таким образом, \(f(0) = 0\), что полностью соответствует третьему заданному условию.

2) Проверим, является ли функция \(f(x) = x^{10}\) четной:
* Определение четной функции гласит, что функция \(f(x)\) является четной, если для любого значения \(x\) из ее области определения выполняется равенство \(f(-x) = f(x)\).
* Рассмотрим предложенную функцию \(f(x) = x^{10}\).
* Найдем выражение для \(f(-x)\), подставив \(-x\) вместо \(x\) в функцию: \(f(-x) = (-x)^{10}\).
* Поскольку показатель степени \(10\) является четным числом, \((-x)\), возведенный в четную степень, будет равен \(x\), возведенному в ту же степень.
* То есть, \((-x)^{10} = x^{10}\).
* Таким образом, мы получили, что \(f(-x) = x^{10}\), что в точности равно исходной функции \(f(x)\).
* Следовательно, условие \(f(-x) = f(x)\) выполняется, и функция \(f(x) = x^{10}\) является четной.

Ответ: да, например \(f(x) = x^{10}\).