ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 19.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Существует ли нечётная функция \(f\), определённая на \(\mathbb{R}\), удовлетворяющая условиям: \(f(0) = 0\), \(f(-1) = -1\), \(f(3) = 243\)?

Существует ли нечетная функция \(f\), удовлетворяющая условиям:
\(f(0) = 0\), \(f(-1) = -1\), \(f(3) = 243\);

1) Значения функции:
\(f(3) = 243 = 3^5\);
\(f(-1) = -1 = (-1)^5\);
\(f(0) = 0 = 0^5\);

2) Функция \(f(x) = x^5\) является нечетной;

Ответ: да, например \(f(x) = x^5\).

Существует ли нечетная функция \(f\), удовлетворяющая условиям: \(f(0) = 0\), \(f(-1) = -1\), \(f(3) = 243\);

1) Значения функции:
Для того чтобы определить, существует ли такая нечетная функция, мы сначала проанализируем заданные значения функции.
Нам дано:
\(f(3) = 243\). Мы ищем закономерность, которая связывает аргумент \(3\) со значением функции \(243\). Путем вычисления степеней числа \(3\), мы находим: \(3^1 = 3\), \(3^2 = 9\), \(3^3 = 27\), \(3^4 = 81\), \(3^5 = 243\). Таким образом, мы можем записать \(f(3) = 3^5\).
\(f(-1) = -1\). Аналогично, мы проверяем связь между аргументом \(-1\) и значением функции \(-1\). Вычисляя степени числа \(-1\): \((-1)^1 = -1\), \((-1)^2 = 1\), \((-1)^3 = -1\), \((-1)^4 = 1\), \((-1)^5 = -1\). Это показывает, что \(f(-1) = (-1)^5\).
\(f(0) = 0\). Для аргумента \(0\), значение функции равно \(0\). Любая положительная степень нуля равна нулю, то есть \(0^5 = 0\). Таким образом, \(f(0) = 0^5\).
На основе этих наблюдений, все три заданных условия \((f(3) = 3^5, f(-1) = (-1)^5, f(0) = 0^5)\) указывают на то, что функция может быть представлена в виде \(f(x) = x^5\).

2) Функция \(f(x) = x^5\) является нечетной:
Теперь нам необходимо доказать, что функция \(f(x) = x^5\) является нечетной. По определению, функция \(f(x)\) называется нечетной, если для любого \(x\) из её области определения выполняется условие \(f(-x) = -f(x)\).
Подставим \(-x\) в нашу предполагаемую функцию \(f(x) = x^5\):
\(f(-x) = (-x)^5\).
Используя свойство степеней \((ab)^n = a^n b^n\), мы можем переписать \((-x)^5\) как \((-1 \cdot x)^5\).
Это равно \((-1)^5 \cdot x^5\).
Поскольку \((-1)^5 = -1\), то \(f(-x) = -1 \cdot x^5 = -x^5\).
Теперь рассмотрим правую часть определения нечетной функции, \(-f(x)\):
\(-f(x) = -(x^5) = -x^5\).
Сравнивая полученные выражения для \(f(-x)\) и \(-f(x)\), мы видим, что \(f(-x) = -x^5\) и \(-f(x) = -x^5\).
Следовательно, \(f(-x) = -f(x)\) выполняется для функции \(f(x) = x^5\).
Это подтверждает, что функция \(f(x) = x^5\) является нечетной.

Ответ: да, например \(f(x) = x^5\).