ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 19.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \(f(x) = \begin{cases} x^4, & \text{если } x < 0, \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 0; \end{cases}\)

2) \(f(x) = \begin{cases} x^5, & \text{если } x < -1, \\ -x — 2, & \text{если } x > -1. \end{cases}\)

Пользуясь построенным графиком, укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции.

Для функции \(f(x) = \begin{cases} x^4, & \text{если } x < 0, \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 0; \end{cases}\)

На интервале \(x < 0\), функция \(f(x) = x^4\). Ее производная \(f'(x) = 4x^3\). Поскольку для \(x < 0\) значение \(4x^3\) отрицательно, функция убывает на промежутке \((-\infty, 0)\). На интервале \(x > 0\), функция \(f(x) = \sqrt{x}\). Ее производная \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\). Поскольку для \(x > 0\) значение \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) положительно, функция возрастает на промежутке \((0, +\infty)\).

Промежутки убывания: \((-\infty, 0)\).
Промежутки возрастания: \((0, +\infty)\).

Для функции \(f(x) = \begin{cases} x^5, & \text{если } x < -1, \\ -x — 2, & \text{если } x > -1. \end{cases}\)

На интервале \(x < -1\), функция \(f(x) = x^5\). Ее производная \(f'(x) = 5x^4\). Поскольку для \(x < -1\) значение \(x^4\) положительно, \(5x^4\) также положительно, функция возрастает на промежутке \((-\infty, -1)\). На интервале \(x > -1\), функция \(f(x) = -x — 2\). Ее производная \(f'(x) = -1\). Поскольку значение производной постоянно отрицательно, функция убывает на промежутке \((-1, +\infty)\).

Промежутки возрастания: \((-\infty, -1)\).
Промежутки убывания: \((-1, +\infty)\).

1. Для функции \(f(x) = \begin{cases} x^4, & \text{если } x < 0, \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 0; \end{cases}\)

Рассмотрим первый интервал, где \(x < 0\). Функция задана как \(f(x) = x^4\). Для определения промежутков возрастания и убывания найдем производную этой части функции. Производная \(f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4) = 4x^{4-1} = 4x^3\). Теперь проанализируем знак производной на данном интервале. Если \(x < 0\), то \(x\) является отрицательным числом. Возведение отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае, в третью степень) дает отрицательный результат, то есть \(x^3 < 0\). Умножение отрицательного числа на положительное число (4) также дает отрицательный результат, следовательно, \(4x^3 < 0\). Таким образом, на интервале \((-\infty, 0)\) производная \(f'(x) < 0\), что означает, что функция \(f(x)\) убывает на этом промежутке. Теперь рассмотрим второй интервал, где \(x > 0\). Функция задана как \(f(x) = \sqrt{x}\). Перепишем ее в виде \(f(x) = x^{\frac{1}{2}}\) для удобства дифференцирования. Найдем производную этой части функции: \(f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\). Проанализируем знак производной на данном интервале. Если \(x > 0\), то \(\sqrt{x}\) является положительным числом. Следовательно, \(2\sqrt{x}\) также положительно, и дробь \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) будет положительной. Таким образом, на интервале \((0, +\infty)\) производная \(f'(x) > 0\), что означает, что функция \(f(x)\) возрастает на этом промежутке.

Промежутки убывания функции: \((-\infty, 0)\).
Промежутки возрастания функции: \((0, +\infty)\).

2. Для функции \(f(x) = \begin{cases} x^5, & \text{если } x < -1, \\ -x — 2, & \text{если } x > -1. \end{cases}\)

Рассмотрим первый интервал, где \(x < -1\). Функция задана как \(f(x) = x^5\). Найдем производную этой части функции: \(f'(x) = \frac{d}{dx}(x^5) = 5x^{5-1} = 5x^4\). Проанализируем знак производной на данном интервале. Если \(x < -1\), то \(x\) является отрицательным числом. Возведение любого ненулевого числа в четную степень (в данном случае, в четвертую степень) всегда дает положительный результат, то есть \(x^4 > 0\). Умножение положительного числа на положительное число (5) также дает положительный результат, следовательно, \(5x^4 > 0\). Таким образом, на интервале \((-\infty, -1)\) производная \(f'(x) > 0\), что означает, что функция \(f(x)\) возрастает на этом промежутке.

Теперь рассмотрим второй интервал, где \(x > -1\). Функция задана как \(f(x) = -x — 2\). Найдем производную этой части функции: \(f'(x) = \frac{d}{dx}(-x — 2) = \frac{d}{dx}(-x) — \frac{d}{dx}(2) = -1 — 0 = -1\). Проанализируем знак производной на данном интервале. Производная является константой \(-1\), которая всегда отрицательна. Таким образом, на интервале \((-1, +\infty)\) производная \(f'(x) < 0\), что означает, что функция \(f(x)\) убывает на этом промежутке.

Промежутки возрастания функции: \((-\infty, -1)\).
Промежутки убывания функции: \((-1, +\infty)\).