ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 19.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \(f(x) = \begin{cases} x^4, & \text{если } x < 0, \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 0; \end{cases}\)

2) \(f(x) = \begin{cases} x^5, & \text{если } x < -1, \\ -x — 2, & \text{если } x > -1. \end{cases}\)

Пользуясь построенным графиком, укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции.

1) Краткое решение: функция кусочная \(f(x)=\begin{cases}x^4,& x<0\\ \sqrt{x},& x\ge 0\end{cases}\). Для \(x<0\) ветвь \(y=x^4\) убывает при движении к нулю; для \(x\ge 0\) ветвь \(y=\sqrt{x}\) возрастает. В точке \(x=0\) обе ветви дают \(y=0\), график непрерывен.

Ответ: возрастает на \([0;+\infty)\) и убывает на \((-\infty;0]\).

2) Краткое решение: функция кусочная \(f(x)=\begin{cases}x^5,& x<-1\\ -x-2,& x\ge -1\end{cases}\). Для \(x<-1\) нечётная степенная \(y=x^5\) возрастает; для \(x\ge -1\) прямая \(y=-x-2\) убывает. В точке \(x=-1\) значения совпадают: \(x^5|_{x=-1}=-1\) и \(-x-2|_{x=-1}=-1\).

Ответ: возрастает на \((-\infty;-1]\) и убывает на \([-1;+\infty)\).

1) Кусочная функция задана как \(f(x)=\begin{cases}x^{4},& x<0\\ \sqrt{x},& x\ge 0\end{cases}\). Для левой части берём четную степенную функцию \(y=x^{4}\). На промежутке \(x<0\) она симметрична относительно оси \(Oy\) и при движении слева направо к нулю убывает, так как значения \(x^{4}\) быстро уменьшаются: например, при \(x=-2\) имеем \(y=16\), при \(x=-1\) имеем \(y=1\), при \(x\to 0^{-}\) имеем \(y\to 0\). Правая часть — корневая функция \(y=\sqrt{x}\), определена для \(x\ge 0\) и является возрастающей: при \(x=1\) имеем \(y=1\), при \(x=4\) имеем \(y=2\), при \(x=9\) имеем \(y=3\), а при \(x\to +\infty\) \(\sqrt{x}\) растёт, хотя и замедленно. В точке склейки \(x=0\) обе формулы дают одинаковое значение \(y=0\), то есть график непрерывен и без разрывов на стыке.

На основании монотонности ветвей делаем вывод о поведении всей функции. На промежутке \((-\infty;0]\) берёт значение только \(x^{4}\), которая при движении слева направо убывает к нулю, значит \(f(x)\) убывает на \((-\infty;0]\). На промежутке \([0;+\infty)\) действует \(\sqrt{x}\), которая монотонно возрастает, значит \(f(x)\) возрастает на \([0;+\infty)\). Переход через точку \(x=0\) не меняет выводы, так как значения совпадают: \(x^{4}\big|_{x=0}=0\) и \(\sqrt{x}\big|_{x=0}=0\).

Ответ: возрастает на \([0;+\infty)\) и убывает на \((-\infty;0]\).

2) Кусочная функция задана как \(f(x)=\begin{cases}x^{5},& x<-1\\ -x-2,& x\ge -1\end{cases}\). Левая ветвь \(y=x^{5}\) — нечётная степенная функция, определена на всей прямой и строго возрастает, так как производная \(5x^{4}\ge 0\) и равна нулю только при \(x=0\). На интересующем промежутке \(x<-1\) эта монотонность сохраняется: при \(x=-2\) имеем \(y=-32\), при \(x=-1.5\) \(y\) больше, а при приближении к \(-1\) значения поднимаются к \(-1\). Правая ветвь \(y=-x-2\) — линейная функция с отрицательным коэффициентом при \(x\), то есть строго убывает на всём промежутке определения \(x\ge -1\): например, при \(x=-1\) имеем \(y=-1\), при \(x=3\) имеем \(y=-5\), при росте \(x\) значения \(y\) становятся всё меньшими.

Стыковка в \(x=-1\) корректна: значения совпадают \(x^{5}\big|_{x=-1}=-1\) и \(-x-2\big|_{x=-1}=-1\), поэтому график непрерывен в точке перехода. Следовательно, на промежутке \((-\infty;-1]\) действует возрастающая функция \(x^{5}\), значит \(f(x)\) возрастает там. На промежутке \([-1;+\infty)\) действует убывающая функция \(-x-2\), значит \(f(x)\) убывает там.

Ответ: возрастает на \((-\infty;-1]\) и убывает на \([-1;+\infty)\).