ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 19.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции \(f(x) = \begin{cases} 2^x, & \text{если } x < 0, \\ 1 — \sqrt{x}, & \text{если } x > 0. \end{cases}\)

Пользуясь построенным графиком, укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции.

Для функции \(f(x) = \begin{cases} 2^x, & \text{если } x < 0, \\ 1 — \sqrt{x}, & \text{если } x > 0. \end{cases}\)

На промежутке \(x < 0\), функция задана как \(f(x) = 2^x\). Поскольку основание экспоненциальной функции \(2 > 1\), функция \(2^x\) является возрастающей на всей своей области определения. Следовательно, на интервале \((-\infty, 0)\) функция \(f(x)\) возрастает.

На промежутке \(x > 0\), функция задана как \(f(x) = 1 — \sqrt{x}\). При увеличении значения \(x\), значение \(\sqrt{x}\) также увеличивается. Соответственно, значение \(1 — \sqrt{x}\) уменьшается. Таким образом, на интервале \((0, +\infty)\) функция \(f(x)\) убывает.

Промежутки возрастания: \((-\infty, 0)\).
Промежутки убывания: \((0, +\infty)\).

Рассмотрим функцию \(f(x) = \begin{cases} 2^x, & \text{если } x < 0, \\ 1 — \sqrt{x}, & \text{если } x > 0. \end{cases}\) Для построения графика и определения промежутков возрастания и убывания, необходимо проанализировать каждый участок функции отдельно.

1. Анализ участка функции для \(x < 0\):
На этом промежутке функция задана как \(f(x) = 2^x\). Это показательная функция с основанием \(2\). Поскольку основание \(2\) больше \(1\), показательная функция \(y = 2^x\) является строго возрастающей на всей своей области определения.
* При \(x \to -\infty\), значение \(2^x \to 0\). Это означает, что ось абсцисс (\(y=0\)) является горизонтальной асимптотой для этой части графика.
* При приближении \(x\) к \(0\) слева (например, \(x = -3, -2, -1\)), значения функции будут:
* \(f(-3) = 2^{-3} = \frac{1}{8}\)
* \(f(-2) = 2^{-2} = \frac{1}{4}\)
* \(f(-1) = 2^{-1} = \frac{1}{2}\)
* При \(x \to 0^-\), значение \(f(x) \to 2^0 = 1\). Таким образом, график стремится к точке \((0, 1)\), но эта точка не включается, так как условие \(x < 0\) строгое.
Следовательно, на интервале \((-\infty, 0)\) функция \(f(x)\) возрастает.

2. Анализ участка функции для \(x > 0\):
На этом промежутке функция задана как \(f(x) = 1 — \sqrt{x}\).
* Область определения функции \(\sqrt{x}\) — это \(x \ge 0\). Поскольку здесь рассматривается \(x > 0\), функция \(1 — \sqrt{x}\) определена на всем этом интервале.
* При приближении \(x\) к \(0\) справа (например, \(x = 0.25, 1, 4\)), значения функции будут:
* \(f(0.25) = 1 — \sqrt{0.25} = 1 — 0.5 = 0.5\)
* \(f(1) = 1 — \sqrt{1} = 1 — 1 = 0\)
* \(f(4) = 1 — \sqrt{4} = 1 — 2 = -1\)
* При \(x \to 0^+\), значение \(f(x) \to 1 — \sqrt{0} = 1\). График также стремится к точке \((0, 1)\), но эта точка не включается, так как условие \(x > 0\) строгое.
* Для определения монотонности, рассмотрим, как изменяется \(f(x)\) при увеличении \(x\). Если \(x_2 > x_1 > 0\), то \(\sqrt{x_2} > \sqrt{x_1}\). Отсюда следует, что \(-\sqrt{x_2} < -\sqrt{x_1}\), и, соответственно, \(1 — \sqrt{x_2} < 1 — \sqrt{x_1}\). Это означает, что \(f(x_2) < f(x_1)\) при \(x_2 > x_1\), что является определением убывающей функции.
Следовательно, на интервале \((0, +\infty)\) функция \(f(x)\) убывает.

3. Определение промежутков возрастания и убывания:
Исходя из анализа каждого участка функции:
* Промежутки возрастания: \((-\infty, 0)\).
* Промежутки убывания: \((0, +\infty)\).
В точке \(x=0\) функция не определена.