ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 19.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = x^8\) на промежутке:

1) \([0; 2]\);

2) \([-2; -1]\);

3) \([-1; 1]\);

4) \((-\infty; -2]\);

5) \((-2; 1)\).

Найти наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = x^8\);
Данная функция:
— Имеет четный показатель степени;
— Имеет вершину в точке с абсциссой \(x_0 = 0\);
— Возрастает на \([0; +\infty)\) и убывает на \((-\infty; 0]\);
1) На промежутке \([0; 2]\):
\(\max_{[0; 2]} f(x) = f(2) = 2^8 = 256\);
\(\min_{[0; 2]} f(x) = f(0) = 0^8 = 0\);
2) На промежутке \([-2; -1]\):
\(\max_{[-2; -1]} f(x) = f(-2) = (-2)^8 = 256\);
\(\min_{[-2; -1]} f(x) = f(-1) = (-1)^8 = 1\);
3) На промежутке \([-1; 1]\):
\(\max_{[-1; 1]} f(x) = f(\pm 1) = (\pm 1)^8 = 1\);
\(\min_{[-1; 1]} f(x) = f(0) = 0^8 = 0\);
4) На промежутке \((-\infty; -2]\):
\(\max_{(-\infty; -2]} f(x)\) — не существует;
\(\min_{(-\infty; -2]} f(x) = f(-2) = (-2)^8 = 256\);
5) На промежутке \((-2; 1]\):
\(\max_{(-2; 1]} f(x)\) — не существует;
\(\min_{(-2; 1]} f(x) = f(0) = 0^8 = 0\);

Найти наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = x^8\);
Данная функция:
— Имеет четный показатель степени;
— Имеет вершину в точке с абсциссой \(x_0 = 0\);
— Возрастает на \([0; +\infty)\) и убывает на \((-\infty; 0]\);

1) На промежутке \([0; 2]\):
На этом промежутке функция \(f(x) = x^8\) является возрастающей, так как \([0; 2]\) находится в области возрастания функции \([0; +\infty)\).
Следовательно, наименьшее значение будет достигаться в левой границе промежутка, а наибольшее — в правой.
\(\max_{[0; 2]} f(x) = f(2) = 2^8 = 256\);
\(\min_{[0; 2]} f(x) = f(0) = 0^8 = 0\);

2) На промежутке \([-2; -1]\):
На этом промежутке функция \(f(x) = x^8\) является убывающей, так как \([-2; -1]\) находится в области убывания функции \((-\infty; 0]\).
Следовательно, наибольшее значение будет достигаться в левой границе промежутка, а наименьшее — в правой.
\(\max_{[-2; -1]} f(x) = f(-2) = (-2)^8 = 256\);
\(\min_{[-2; -1]} f(x) = f(-1) = (-1)^8 = 1\);

3) На промежутке \([-1; 1]\):
Этот промежуток содержит точку \(x = 0\), которая является точкой минимума функции. Функция убывает на \([-1; 0]\) и возрастает на \([0; 1]\).
Наименьшее значение функции будет в точке \(x = 0\).
Для определения наибольшего значения необходимо сравнить значения функции на концах промежутка: \(f(-1) = (-1)^8 = 1\) и \(f(1) = 1^8 = 1\).
\(\max_{[-1; 1]} f(x) = f(\pm 1) = (\pm 1)^8 = 1\);
\(\min_{[-1; 1]} f(x) = f(0) = 0^8 = 0\);

4) На промежутке \((-\infty; -2]\):
На этом промежутке функция \(f(x) = x^8\) является убывающей.
При \(x \to -\infty\), значение \(f(x) = x^8 \to +\infty\), поэтому наибольшего значения на этом промежутке не существует.
Наименьшее значение будет достигаться в правой границе промежутка.
\(\max_{(-\infty; -2]} f(x)\) — не существует;
\(\min_{(-\infty; -2]} f(x) = f(-2) = (-2)^8 = 256\);

5) На промежутке \((-2; 1)\):
Этот промежуток является открытым и содержит точку \(x = 0\), которая является точкой минимума функции.
Наименьшее значение функции будет в точке \(x = 0\).
Для определения наибольшего значения рассмотрим поведение функции на границах открытого промежутка: при \(x \to -2^+\), \(f(x) \to (-2)^8 = 256\); при \(x \to 1^-\), \(f(x) \to 1^8 = 1\). Так как промежуток открытый, функция не достигает этих значений, и наибольшего значения на данном промежутке не существует.
\(\max_{(-2; 1)} f(x)\) — не существует;
\(\min_{(-2; 1)} f(x) = f(0) = 0^8 = 0\);