ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 19.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = x^6\) на промежутке:

1) \([-13; -1]\);

2) \([-2; 1]\);

3) \([1; +\infty)\);

4) \((1; +\infty)\).

Найти наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = x^6\);

Данная функция:
— Имеет четный показатель степени;
— Имеет вершину в точке с абсциссой \(x_0 = 0\);
— Возрастает на \([0; +\infty)\) и убывает на \((-\infty; 0]\);

1) На промежутке \([-13; -1]\):
\(\max_{[-13;-1]} f(x) = f(-13) = (-13)^6 = 13^6\);
\(\min_{[-13;-1]} f(x) = f(-1) = (-1)^6 = 1\);

2) На промежутке \([-2; 1]\):
\(\max_{[-2;1]} f(x) = f(-2) = (-2)^6 = 64\);
\(\min_{[-2;1]} f(x) = f(0) = 0^6 = 0\);

3) На промежутке \([1; +\infty)\):
\(\max_{[1;+\infty)} f(x)\) — не существует;
\(\min_{[1;+\infty)} f(x) = f(1) = 1^6 = 1\);

4) На промежутке \((1; +\infty)\):
\(\max_{(1;+\infty)} f(x)\) — не существует;
\(\min_{(1;+\infty)} f(x)\) — не существует;

Найти наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = x^6\);

Данная функция:
— Имеет четный показатель степени;
— Имеет вершину в точке с абсциссой \(x_0 = 0\);
— Возрастает на \([0; +\infty)\) и убывает на \((-\infty; 0]\);

1) На промежутке \([-13; -1]\):
Для функции \(f(x) = x^6\), на промежутке \([-13; -1]\), который полностью находится в области убывания функции, наибольшее значение будет достигаться в левой границе интервала, а наименьшее — в правой.
Наибольшее значение: \(f(-13) = (-13)^6\). Поскольку степень четная, \( (-13)^6 = 13^6 \). Таким образом, \(\max_{[-13;-1]} f(x) = f(-13) = 13^6\).
Наименьшее значение: \(f(-1) = (-1)^6\). Поскольку степень четная, \( (-1)^6 = 1 \). Таким образом, \(\min_{[-13;-1]} f(x) = f(-1) = 1\).

2) На промежутке \([-2; 1]\):
На промежутке \([-2; 1]\) функция сначала убывает от \(x = -2\) до \(x = 0\), а затем возрастает от \(x = 0\) до \(x = 1\).
Наименьшее значение функции достигается в точке минимума, которая находится в вершине параболы, то есть при \(x = 0\). Таким образом, \(\min_{[-2;1]} f(x) = f(0) = 0^6 = 0\).
Для определения наибольшего значения необходимо сравнить значения функции на концах интервала: \(f(-2)\) и \(f(1)\).
\(f(-2) = (-2)^6 = 64\).
\(f(1) = (1)^6 = 1\).
Сравнивая эти значения, получаем, что наибольшее значение равно \(64\). Таким образом, \(\max_{[-2;1]} f(x) = f(-2) = 64\).

3) На промежутке \([1; +\infty)\):
На промежутке \([1; +\infty)\) функция \(f(x) = x^6\) является возрастающей.
Наименьшее значение функции достигается в левой границе интервала, то есть при \(x = 1\). Таким образом, \(\min_{[1;+\infty)} f(x) = f(1) = 1^6 = 1\).
Поскольку функция возрастает до бесконечности, наибольшее значение на этом промежутке не существует. Таким образом, \(\max_{[1;+\infty)} f(x)\) — не существует.

4) На промежутке \((1; +\infty)\):
На промежутке \((1; +\infty)\) функция \(f(x) = x^6\) является возрастающей. Этот интервал является открытым.
Поскольку интервал открытый и функция возрастает, наименьшее значение не достигается, так как точка \(x=1\) не включена в интервал. Функция приближается к \(f(1)\) по мере приближения \(x\) к \(1\), но никогда не достигает этого значения. Таким образом, \(\min_{(1;+\infty)} f(x)\) — не существует.
Поскольку функция возрастает до бесконечности, наибольшее значение на этом промежутке также не существует. Таким образом, \(\max_{(1;+\infty)} f(x)\) — не существует.